【題目】如圖,折疊矩形ABCD的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處.
(1)如圖1,若折痕,且,求矩形ABCD的周長(zhǎng);
(2)如圖2,在AD邊上截取DG=CF,連接GE,BD,相交于點(diǎn)H,求證:BD⊥GE.
【答案】(1)36;(2)答案見(jiàn)解析.
【解析】
(1)設(shè)EC=3k,則FC=4k,EF=5k,然后判斷出∠BAF=∠EFC,利用三角函數(shù)的知識(shí)表示出BF、AF,結(jié)合AE的長(zhǎng).在Rt△AFE中利用勾股定理可求出矩形ABCD的邊長(zhǎng),繼而可得出周長(zhǎng).
(2)根據(jù)題意可得GD=FC,DE=EF,然后表示出cos∠EFC,及cos∠BAF,根據(jù)∠BAF=∠EFC,可得出一對(duì)相等的比例關(guān)系,繼而可判斷出△DBA∽△EGD,得出∠DBA=∠EGD,然后利用等量代換可確定結(jié)論.
(1)設(shè)EC=3k,由tan∠EFC=,則FC=4k,EF=5k.
∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC=8k.
∵∠AFE=∠D=90°,∴∠AFB+∠EFC=90°.
∵∠B=90°,∴∠BAF+∠AFB=90°,∴∠BAF=∠EFC,∴tan∠BAF=,∴BF=6k,AF=10k.在Rt△AFE中,AF2+EF2=AE2,AE=5,∴100k2+25k2=(5)2,解得:k=1,∴AB=DC=8,BC=AD=AF=10,所以矩形ABCD的周長(zhǎng)為36.
(2)∵GD=FC,DE=EF,∴cos∠EFC==.
∵cos∠BAF==,∠BAF=∠EFC,∴=,∴△DBA∽△EGD,∴∠DBA=∠EGD.
∵∠DBA+∠ADB=90°,∴∠DGH+∠GDH=90°,∴∠GHD=90°,∴BD⊥GE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.
(1)畫出△A1B1C1,使它與△ABC關(guān)于直線a對(duì)稱;
(2)求出△A1B1C1的面積;
(3)在直線a上畫出點(diǎn)P,使PA+PC最小,最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,半徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)A與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合,AB是圓片的直徑.
(1)把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周,點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)C的位置,點(diǎn)C表示的數(shù)是______數(shù)(填“無(wú)理”或“有理”),這個(gè)數(shù)是______;
(2)把圓片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)2周,點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)D的位置,點(diǎn)D表示的數(shù)是______;
(3)圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù),圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù),依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下:+2,-1,-5,+4,+3,-2當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí),A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有多少?此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商城銷售A,B兩種自行車.A型自行車售價(jià)為2 100元/輛,B型自行車售價(jià)為1 750元/輛,每輛A型自行車的進(jìn)價(jià)比每輛B型自行車的進(jìn)價(jià)多400元,商城用80 000元購(gòu)進(jìn)A型自行車的數(shù)量與用64 000元購(gòu)進(jìn)B型自行車的數(shù)量相等.
(1)求每輛A,B兩種自行車的進(jìn)價(jià)分別是多少?
(2)現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購(gòu)進(jìn)這兩種自行車共100輛,設(shè)購(gòu)進(jìn)A型自行車m輛,這100輛自行車的銷售總利潤(rùn)為y元,要求購(gòu)進(jìn)B型自行車數(shù)量不超過(guò)A型自行車數(shù)量的2倍,總利潤(rùn)不低于13 000元,求獲利最大的方案以及最大利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線:與軸相交于B,與軸相交于點(diǎn)A.直線:經(jīng)過(guò)原點(diǎn),并且與直線相交于C點(diǎn).
(1)求ΔOBC的面積;
(2)如圖2,在軸上有一動(dòng)點(diǎn)E,連接CE.問(wèn)CE+BE是否有最小值,如果有,求出相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)及CE+BE的最小值;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,在(2)的條件下,以CE為一邊作等邊ΔCDE,D點(diǎn)正好落在軸上.將ΔDCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度為(0°≤≤360),記旋轉(zhuǎn)后的三角形為ΔDCE′,點(diǎn)C,E的對(duì)稱點(diǎn)分別為C′,E′.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)C′E′所在的直線與直線相交于點(diǎn)M,與軸正半軸相交于點(diǎn)N.當(dāng)ΔOMN為等腰三角形時(shí),求線段ON的長(zhǎng)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y1=ax2﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,),拋物線y1的頂點(diǎn)為G,GM⊥x軸于點(diǎn)M.將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B且對(duì)稱軸為直線l的拋物線y2.
(1)求拋物線y2的解析式;
(2)如圖2,在直線l上是否存在點(diǎn)T,使△TAC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)P為拋物線y1上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線y2于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R,若以P,Q,R為頂點(diǎn)的三角形與△AMG全等,求直線PR的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在10×10正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位.將△ABC向下平移4個(gè)單位,得到△A′B′C′,再把△A′B′C′繞點(diǎn)C'順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A″B″C′,
(1)請(qǐng)你畫出△A′B′C′和△A″B″C′(不要求寫畫法).
(2)求出線段A′C′在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積.(結(jié)果保留)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D為AC邊上的中點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF,交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,若AE=8,FC=6.
(1)求EF的長(zhǎng).
(2)求四邊形BEDF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.
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