【題目】在平面直角坐標系xOy中,給出如下定義:

對于⊙C及⊙C外一點PM,N是⊙C上兩點,當∠MPN最大,稱∠MPNP關于⊙C視角.直線l與⊙C相離,點Q在直線l上運動,當點Q關于⊙C視角最大時,則稱這個最大的視角直線l關于⊙C視角

1)如圖,⊙O的半徑為1,

①已知點A1,1),直接寫出點A關于⊙O視角;已知直線y = 2,直接寫出直線y = 2關于⊙O視角;

②若點B關于⊙O視角60°,直接寫出一個符合條件的B點坐標;

2C的半徑為1,

C的坐標為(12),直線l: y=kx + bk > 0)經過點D,0),若直線l關于⊙C視角60°,求k的值;

②圓心Cx軸正半軸上運動,若直線y =x +關于⊙C視角大于120°,直接寫出圓心C的橫坐標xC的取值范圍.

【答案】(1)① 90,60;②本題答案不唯一,如:B (0,2);(3).

【解析】試題分析

1由題意可知,點P關于O視角是指從點P引出兩條射線,當兩條射線和O相切時兩條射線所形成的的夾角就是點P關于O的“視角”;直線關于O視角是指當直線O相離時,直線上的點Q距離圓心O最近時,點Q關于O的“視角”就是直線關于O的“視角”;由此可根據(jù)已知條件解答第一問;

2由題意可知,若直線l關于⊙C視角60°,則說明在直線上存在一點P距離點C最近,且點P關于⊙C的“視角”為60°,則此時點P與以點C為圓心,2為半徑的圓相切的切點,如圖1過點CCH軸于點H,PE軸于點E,由已知分析可得DP=DH=,PDE=60°,PDE中可求得DEPE的長,得到點P的坐標,把PD的坐標代入直線的解析式可求得k的值;

如圖2,由已知易得直線軸相交于點A-1,0),與軸相交于點B0, ),若此時直線關于⊙C的視角∠EPF=120°,由已知條件求得OC的長,可得點C的坐標;如圖3,當沿著軸向左移動時直線關于⊙C的視角會變大,當直線和⊙C相切于點P時,由已知條件可求得OC的長,可得此時點C的坐標;綜合起來可得的取值范圍.

試題解析

1如下圖,當點A的坐標為(1,1)時,易得點A關于O的視角為90°

直線y=2上距離圓心O最近的點是直線y=2y軸的交點P,過點PO的兩條切線PCPD,切點為C、D,則直線y=2關于O的視角是∠CPD,連接OD,由已知條件可求得∠OPD=30°∴∠CPD=60°,即直線y=2關于O的視角為60°.

中第2小問可知,滿足條件的點B在以O為圓心,2為半徑的圓上,這樣的點很多,比如說點B0,2.

2①∵直線l: y=kx + bk > 0)經過點D0),

.

.

∴直線l: .

設點P在直線,若點P關于C視角60°,則點P在以C為圓心,2為半徑的圓上.

直線l關于⊙C 視角60°

∴此時,點P是直線l上與圓心C的距離最短的點.

∴CP⊥直線l.

即直線l是以C為圓心,2為半徑的圓的一條切線,如圖1所示.

作過點CCH軸于點H,PE軸于點E,

H的坐標為(1,0),

D的坐標為,

DH ==PD

tanCDH=,

∴∠CDH=30°,∠PDH=60°,

DE=PDcos60°=PE= PDsin60°=3,

OE=DH-DE-OH=,

P的坐標(,3).

把點P的坐標代入l: ,解得 k=

②如圖2,由已知易得直線軸相交于點A-1,0),與軸相交于點B0, ),

若此時直線關于⊙C的視角∠EPF=120°

∠EPC=60°,∠PEC=90°CE=1,∴∠PCE=30°

PC=,AC=,

OC=AC-OA=

此時=;

如圖3,當沿著軸向左移動時,直線關于⊙C的視角會變大,當直線和⊙C相切于點P時,連接CP

ABO,AO=1BO=,

tanBAO=,

∴∠BAO=60°

AC=,

OC=AC-OA=,

此時=,

綜上所述, 的取值范圍為 .

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