Question

如圖1，若點A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小，做法是：作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．
（1）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�做法是：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為

 

；
（2）如圖3，已知⊙O的直徑CD為2，

AC

的度數(shù)為60°，點B是

AC

的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為

 

；
（3）如圖4，點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，BP=m，∠ABC=α，分別在邊AB、BC上作出點M、N，使△PMN的周長最小，求出這個最小值（用含m、α的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱-最短路線問題,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）如圖2，只需利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理就可求出CE的長．
（2）過點B作直徑CD的對稱點B′，由圓的對稱性可知：點B′必在⊙O上．連接AB′，與CD的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．連接PB、OA、OB′，如圖3，根據(jù)條件可求出

AB′

的度數(shù)為90°，從而得到∠AOB′的度數(shù)也為90°，然后運用勾股定理求出AB′的長，就可解決問題．
（3）分別作點P關(guān)于邊AB、BC的對稱點E、F，連接EF，分別與邊AB、BC交于點M、N，連接PM、PN，如圖4，則線段EF的長度即為△PMN的周長的最小值．連接BE、BF，過B作BH⊥EF于H．由對稱性可得：BE=BF=BP=m，∠EBF=2∠ABC=2α．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：∠EBH=

1

2

∠EBF=α，EH=FH．然后在Rt△BEH中運用三角函數(shù)就可求出EH，進而求出EF，就可解決問題．

解答：解：（1）如圖2，

∵△ABC是等邊三角形，點E為AB中點，AB=2，
∴AC=AB=2，AE=

1

2

AB=1，CE⊥AB．
∴CE=

AC2-AE2

=

3

．
故答案為：

3

．

（2）過點B作直徑CD的對稱點B′，由圓的對稱性可知：點B′必在⊙O上．
連接AB′，與CD的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．
連接PB、OA、OB′，如圖3，

∵點B與點B′關(guān)于CD的對稱，
∴

CB′

=

CB

．
∵點B是

AC

的中點，

AC

的度數(shù)為60°，
∴

BC

的度數(shù)為30°．
∴

CB′

的度數(shù)為30°．
∴

AB′

的度數(shù)為90°．
∴∠AOB′=90°．
∵OA=OB′=

1

2

CD=

1

2

×2=1，
∴AB′=

2

．
故答案為：

2

．

（3）分別作點P關(guān)于邊AB、BC的對稱點E、F，連接EF，分別與邊AB、BC交于點M、N，連接PM、PN，如圖4，

則線段EF的長度即為△PMN的周長的最小值．
連接BE、BF，過B作BH⊥EF于H．
∵點E與點P關(guān)于AB對稱，點F與點P關(guān)于BC對稱，
∴∠EBA=∠PBA，∠FBC=∠PBC，BE=BF=BP=m．
∴∠EBF=2∠ABC=2α．
∵BE=BF，BH⊥EF，
∴∠EBH=

1

2

∠EBF=α，EH=FH．
在Rt△BEH中，
∵sinα=

EH

EB

，
∴EH=BE•sinα=m•sinα．
∴EF=2m•sinα．
∴△PMN周長的最小值為2m•sinα．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題、圓弧與所對圓心角的度數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，考查了知識的遷移能力，是一道好題．