Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C三點，P（2，m）是拋物線與直線l：y=k（x+1）的一個交點．
（1）求二次函數(shù)關(guān)系式和點C的坐標；
（2）對于動點Q（1，n），求QB-QP的最大值；
（3）若動點M在直線l：y=k（x+1）上方的拋物線上運動，過點M作x軸的垂線交x軸于點F，如果直線AP把線段MF分成1：2的兩部分，求點M的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接把A（-1，0）、B（3，0）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+3，求出a、b的值，進而得出二次函數(shù)的解析式，再令x=0求出y的值即可得出點C的坐標；
（2）由題意可知動點（1，n）在二次函數(shù)的對稱軸上，故當點Q、P、B三點共線時，QB-QP的值最大，最大值為QB-QP=PB，把x=2代入y=-x²+2x+3可求出y的值，進而得出P點坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式即可得出結(jié)論；
（3）把P（2，3），代入直線y=k（x+1）得，k=1，故可得出直線l的關(guān)系式為y=x+1，再根據(jù)AP把線段MF分成1：2兩部分，可得出

EF

MF

=

1

3

或

EF

MF

=

2

3

，
設(shè)點M的橫坐標為x，代入代數(shù)式進行計算即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，解得

a=-1 b=2

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3，D（0，3）；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴動點（1，n）在二次函數(shù)的對稱軸上，
∴當點Q、P、B三點共線時，QB-QP的值最大，最大值為QB-QP=PB，
把x=2代入y=-x²+2x+3得，y=3，即點P的坐標為（2，3），
∵B（3，0），
∴QB-QP=PB=

12+32

=

10

；

（3）∵把P（2，3），代入直線y=k（x+1）得，k=1，
∴直線l的關(guān)系式為y=x+1，
∵AP把線段MF分成1：2兩部分，
∴

EF

MF

=

1

3

或

EF

MF

=

2

3

，
∵∠PAB=45°，
∴EF=AF，
設(shè)點M的橫坐標為x，則

x+1

-(x+1)(x-3)

=

1

3

或

x+1

-(x+1)(x-3)

=

2

3

，解得x=0或x=

3

2

，代入y=x+1得，y=3或y=

15

4

∴點M的坐標為（0，3），（

3

2

，

15

4

）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、最值問題等知識，難度適中．