【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB是⊙O的直徑,⊙O交BC于點D,E為AC的中點,BE交⊙O于點F.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)①當∠B=______時,四邊形AODE是正方形;
②在①的條件下,若OA=2,線段BF的長為______.
【答案】(1)證明見解析;(2)①45°;②.
【解析】
(1)連結(jié)AD,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°,則由E是AC的中點得到ED=EA,所以∠EAD=∠EDA,而∠OAD=∠ODA,所以∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA,于是得到∠EDO=∠EAO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到DE為⊙O的切線;
(2)①先判斷出AE=OA,進而判斷出AB=AC,即可得出結(jié)論;
②由OA=2結(jié)合①結(jié)論用勾股定理可得BE=2,再由△AFB~△EAB計算BF長即可
(1)連結(jié)AD,如圖1,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴△ADC為直角三角形,
∵E是AC的中點,
∴ED=AC=EA,
∴∠EAD=∠EDA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA,
∴∠EDO=∠EAO=90°,
∴ED⊥OD,
∴DE為⊙O的切線;
(2)①當∠ABC=45°時,四邊形AODE是正方形,理由如下:
∵∠ABC=45°,∠BAC=90°,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∴AC=AB,
∵EC=EA,AO=BO,
∴AE=AO,
由(1)知,DE是⊙O的切線,
∵AB是⊙O的直徑,且∠BAC=90°,
∴AC是⊙O的切線,
∴AE=DE,
∴AE=DE=AO=DO,
∴四邊形AODE是菱形,
又∵∠EAO=90°,
∴菱形AODE是正方形,
故答案為:45°;
②如圖2,連接AF,
由①得四邊形AODE是正方形,
∵OA=2,
∴AE=2,AB=4,BE=,
∵AB是直徑,
∴AF⊥BE,
∴△AFB~△EAB,
∴,即:,
∴BF=.
故答案為:
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一商品銷售某種商品,平均每天可售出20件,每件盈利50元.為了擴大銷售,增加盈利,該店采取了降價措施,在每件盈利不少于25元的前提下,經(jīng)過一段時間銷售,發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若每件商品降價2元,則平均每天可售出______件;
(2)當每件商品降價多少元時,該商品每天的銷售利潤為1600元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,頂點為(1,4)的拋物線與直線交于點A(2,2),直線與軸交于點B與軸交于點C
(1)求的值及拋物線的解析式
(2)P為拋物線上的點,點P關(guān)于直線AB的對稱軸點在軸上,求點P的坐標
(3)點D為軸上方拋物線上的一點,點E為軸上一點,以A 、B、E、D為頂點的四邊為平行四邊形時,直接寫出點E的坐標。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)、移動終端的迅速發(fā)展,數(shù)字化閱讀越來越普及,公交、地鐵上的“低頭族”越來越多,某研究機構(gòu)針對“您如何看待數(shù)字化閱讀”問題進行了隨機問卷調(diào)查(問卷調(diào)查表如下圖所示),并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖①和圖②所示的統(tǒng)計圖(均不完整).
“您如何看待數(shù)字化閱讀”問卷調(diào)查表
您好!這是一份關(guān)于“您如何看待數(shù)字化閱讀問卷調(diào)查表,請在表格中選擇一項您最認同的觀點,在其后空格內(nèi)打“√”,非常感謝您的合作.
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請根據(jù)統(tǒng)計圖中提供的信息,解答下列問題:
(I)本次接受調(diào)查的總?cè)藬?shù)是__________人,并將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(Ⅱ)在扇形統(tǒng)計圖中,觀點的百分比是___________,表示觀點的扇形的圓心角度數(shù)為_________度.
(Ⅲ)某市共有萬人,請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估算該市持,,觀點贊成數(shù)字化閱讀的人數(shù)共有多少萬人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2013年四川綿陽12分)如圖,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,雙曲線(k>0)與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.
(1)若E是AB的中點,求F點的坐標;
(2)若將△BEF沿直線EF對折,B點落在x軸上的D點,作EG⊥OC,垂足為G,證明△EGD∽△DCF,并求k的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+4x+c與x軸交于點M,與y軸交于點N,拋物線的對稱軸與x軸交于點P,OM=1,ON=5.
(1)求拋物線的表達式;
(2)點A是y軸正半軸上一動點,點B是拋物線對稱軸上的任意一點,連接AB、AM、BM,且AB⊥AM.
①AO為何值時,△ABM∽△OMN,請說明理由;
②若Rt△ABM中有一邊的長等于MP時,請直接寫出點A的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學綜合實踐活動中,小明計劃測量城門大樓的高度,在點B處測得樓頂A的仰角為22°,他正對著城樓前進21米到達C處,再登上3米高的樓臺D處,并測得此時樓頂A的仰角為45°.
(1)求城門大樓的高度;
(2)每逢重大節(jié)日,城門大樓管理處都要在A,B之間拉上繩子,并在繩子上掛一些彩旗,請你求出A,B之間所掛彩旗的長度(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin22°≈,cos22°≈,tan22°≈)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時,用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后,大棚內(nèi)溫度y(℃)隨時間x(小時)變化的函數(shù)圖象,其中BC段是雙曲線的一部分.請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時間有多少小時?
(2)求k的值;
(3)當x=16時,大棚內(nèi)的溫度約為多少度?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 如圖,AB為⊙O的直徑,F為弦AC的中點,連接OF并延長交弧AC于點D,過點D作⊙O的切線,交BA的延長線于點E,連接CD,OC.
(1)求證:AC∥DE;
(2)若OA=AE,求證:△AFO≌△CFD;
(3)若OA=AE=2,則四邊形ACDE的面積是______.
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