Question

【題目】探究活動(dòng)一：

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系是　 　．（不必證明，直接給出結(jié)論即可）

探究活動(dòng)二：

如圖2，將上題中的“正方形”改為“矩形”，且AB=mBC，其他條件不變（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并證明線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系；

探究活動(dòng)三：

根據(jù)前面的探索和圖3，平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，請(qǐng)?zhí)骄坎⒆C明線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）ME=MF．(2) ME=mMF．理由見(jiàn)解析；（3）ME=mMF．理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，首先證明M是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，然后證明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性質(zhì)得到ME=MF；
（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性質(zhì)和已知條件證明∠HMF=∠GME，∠MGE=∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，由于M是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，MN交AB于F，AD交QM于E，則ME=mMF．證明方法和（1）（2）類似．

（1）ME=MF．

理由：如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

則∠MHF=∠MGE=90°，

∵M是正方形ABCD的對(duì)稱中心，

∴AM平分∠BAD，

∴MH=MG，

在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，

∴∠EMF=∠HMG=90°，

∴∠FMH=∠EMG，

在△MHF和△MGE中，

∴△MHF≌△MGE（ASA），

∴MF=ME，

故答案為：MF=ME；

（2）ME=mMF．

理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，

則∠MHE=∠MGF=90°，

在矩形ABCD中，∠A=90°，

∴在四邊形GMHA中，∠GMH=90°，

又∵∠EMF=90°，

∴∠HME=∠GMF，

又∵∠MGF=∠MHE=90°，

∴△MGF∽△MHE，

∴，

又∵M是矩形ABCD的對(duì)稱中心，

∴MG=BC，MH=AB，

∵AB=mBC，

∴=m，

∴ME=mMF；

（3）ME=mMF．

理由：如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，

則∠MHE=∠MGF=90°，

在平行四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，

∴∠A+∠EMF=180°，

又∵在四邊形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，

∴∠EMF=∠GMF，

又∵∠MGF=∠MHE=90°，

∴△MGF∽△MHE，

∴，

又∵M是矩形ABCD的對(duì)稱中心，

∴MG=BC，MH=AB，

∵AB=mBC，

∴，

∴ME=mMF．