Question

【題目】如圖1，在中，為銳角，點為射線上一點，聯(lián)結(jié)，以為一邊且在的右側(cè)作正方形．

（1）如果，，

①當點在線段上時（與點不重合），如圖2，線段所在直線的位置關(guān)系為 ，線段的數(shù)量關(guān)系為 ；

②當點在線段的延長線上時，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（2）如果，是銳角，點在線段上，當滿足什么條件時，（點不重合），并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等；②當點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立，證明見解析；（2）當∠ACB＝45時，CF⊥BD，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）①點在線段上時，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得出 ②當點D在BC的延長線上時，①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD，∠ACF=∠ABD.結(jié)合 得到 即
（2）當時, 過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G,則∠GAC=，可推出 所以 由（1）①中的方法可得CF⊥BC.

試題解析：(1)①如圖2，易證△DAB≌△FAC(SAS)，

即BD⊥CF；

故答案為：垂直，相等；

②如圖3所示，當點D在BC的延長線上時，①中的結(jié)論仍成立,

證明：由正方形ADEF得,AD=AF,∠DAF=.

∵∠BAC=，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC(SAS)，

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.

∵∠BAC=，AB=AC，

，即CF⊥BD；

(2)如圖4所示,當時,CF⊥BD.

理由：過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G,則∠GAC=，

∴∠ACB=∠AGC，

∴AC=AG，

又∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等)，AD=AF，

∴△GAD≌△CAF(SAS)，

即CF⊥BC.