【題目】已知:將矩形紙片ABCD折疊,使點A與點C重合(點D與D'為對應(yīng)點),折痕為EF,連接AF.

(1)如圖1,求證:四邊形AECF為菱形;

(2)如圖2,若FC=2DF,連接AC交EF于點O,連接DO、D'O,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中所有等邊三角形.

(圖1) (圖2)

【答案】(1)見解析(2)△AOD,△AEF,△CEF,△COD

【解析】1)先證明四邊形AECF是平行四邊形,再根據(jù)AE=CE,即可證明四邊形AECF是菱形;

(2)根據(jù)等邊三角形的判定方法可判定出等邊三角形有AEF、CEF、AOD、COD′.

(1)∵將矩形紙片ABCD折疊,使點A與點C重合,折痕為EF,

AE=CE,AF=FC,AEF=CEF,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ADC=BAD=90°,AECF,

∴∠CFE=AEF,

∴∠CEF=CFE,

CF=CE,

AE=CF,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

又∵AE=CE,

∴四邊形AECF是菱形;

(2) 等邊三角形為:AEF、CEF、AOD、COD′;理由如下:

FC=2DF,AF=FC,

AF=2DF,

∵∠ADC=90°,

∴∠DAF=30°,

∴∠EAF=60°,

∵四邊形AECF是菱形,

AE=AF,AEF≌△CEF,OA=OC=AC,

∴△AEFCEF是等邊三角形;

∵∠ADC=90°,

OD=AC=OA,

∵∠OAF=EAF=30°,

∴∠OAD=60°,

∴△AOD是等邊三角形;

CD′=AD=OC,OD′=AC,

CD′=OC=OD′,

∴△COD′是等邊三角形.

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