Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為3，點0是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，連接BE．過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：在BE上截取BG=CF，連接OG，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=3，∠BCD=∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，OB=OC，

∵Rt△BCE中，CF⊥BE，

∴∠EBC=∠ECF，

∴∠OBG=∠OCF，

在△OBG與△OCF中， ，

∴△OBG≌△OCF（SAS），

∴OG=OF，∠BOG=∠COF，

∴OG⊥OF，

在Rt△BCE中，BC=DC=3，DE=2CE，

∴CE=1，

∴BE= = = ，

根據(jù)射影定理得：BC2=BFBE，

則32=BF ，解得：BF= ，

∴EF=BE﹣BF= ，

∵CF2=BFEF，

∴CF= ，

∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ，

在等腰直角△OGF中，OF2= GF2= ，

∴OF= ．

【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．