Question

【題目】已知，如圖，拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，

（1）如圖1，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為或點(diǎn)，選擇適當(dāng)方法求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖2，在（1）的條件下，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上求作一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖3，在（1）的條件下，將圖2中的對(duì)稱(chēng)軸向左移動(dòng)，交軸于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)，線(xiàn)段的交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，用含的代數(shù)式表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，并求出當(dāng)為何值時(shí)，線(xiàn)段最長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）

【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入頂點(diǎn)式解未知系數(shù)即得．

（2）先確定的周長(zhǎng)最小為BC的長(zhǎng)度，再用待定系數(shù)法求BC的解析式，最后根據(jù)M點(diǎn)橫坐標(biāo)確定縱坐標(biāo)即得．

（3）先用m表示E點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差將線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度用m表示，最后建立線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度與m之間的函數(shù)關(guān)系并將解析式化為頂點(diǎn)式即得．

解：（1）由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)其解析式為，

將點(diǎn)代入，得：，

解得，則拋物線(xiàn)解析式為；

（2）如圖：連接，交于點(diǎn)

∵A點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)

∴

∵兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短

∴的周長(zhǎng)最小為BC的長(zhǎng)度

設(shè)直線(xiàn)的解析式為，

將，代入得，，

解得：

∴直線(xiàn)的解析式為

當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）由題意知，，

則，

∴當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段最長(zhǎng)．