Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，-4）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有什么位置關(guān)系，并給出證明；
（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用頂點(diǎn)式將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得a的值，從而確定二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得B（1，0），C（5，0），設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，根據(jù)Rt△ABO∽Rt△BCE得到比例式，從而求得CE=

4

26

；根據(jù)點(diǎn)C到對稱軸x=3的距離為2，2＞

4

26

，從而確定拋物線的對稱軸l與⊙C相離；
（3）分三個角可能為直角，利用直角三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：（1）解：設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-3）²-4，
將A（0，5）代入求得：a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-3）²-4=x²-6x+5．

（2）拋物線的對稱軸l與⊙C相離．
證明：令y=0，即x²-6x+5=0，得x=1或x=5，
∴B（1，0），C（5，0）．
如答圖①所示，設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，由題意易證Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，即

52+12

4

=

1

CE

，
求得⊙C的半徑CE=

4

26

；
而點(diǎn)C到對稱軸x=3的距離為2，2＞

4

26

，
∴拋物線的對稱軸l與⊙C相離．


（3）存在．
P₁（3，-2），P₂（3，8），P₃（3，-1），P₄（3，6）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和直角三角形的性質(zhì)．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．