Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P是x軸上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨著改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）D（2，8）；（2）（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1+或4或0．

【解析】

（1）由B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式，再求其頂點(diǎn)D即可；
（2）過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（m，m2+2m+6），有四種情況：
①如圖2，當(dāng)G在y軸上時(shí)，過(guò)P作PQ⊥y軸于Q，作PM⊥x軸于M，
證明△PQG≌△PMB，則PQ=PM，列方程可得m的值；
②當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖3，過(guò)P作PM⊥x軸于M，同理得結(jié)論；
③當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖4，此時(shí)P與C重合；
④當(dāng)G在y軸上時(shí)，如圖5，過(guò)P作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，列方程可得m的值．

解：（1）把點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6）代入拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c得：

，

解得： ，

∴y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，

∴D（2，8）；

（2）如圖1，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，

∴△FBG∽△BDE，

∴ ，

∵B（6，0），D（2，8），

∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，

∴BG=6﹣x，

∴ ＝ ＝ ，

當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有6﹣x=2（﹣+2x+6），

解得x=﹣1或x=6（舍去），

此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）；

當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有6﹣x=2（－2x－6），

解得x=﹣3或x=6（舍去），

此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；

綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣ ）；

（3）設(shè)P（m，），

有三種情況：

①如圖2，當(dāng)G在y軸上時(shí)，過(guò)P作PQ⊥y軸于Q，作PM⊥x軸于M，

∵四邊形PBFG是正方形，

∴PG=PB，

∵∠PQG=∠PMB=90°，∠QPG=∠MPB，

∴△PQG≌△PMB，

∴PQ=PM，

即m=﹣ m2+2m+6，

解得：m1=1+，m2=1﹣（舍），

∴P的橫坐標(biāo)為1+，

②當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖3，過(guò)P作PM⊥x軸于M，

同理得：△PMB≌△BOF，

∴OB=PM=6，

即﹣m2+2m+6=6，

m1=0（舍），m2=4，

∴P的橫坐標(biāo)為4，

③當(dāng)F在y軸上時(shí)，如圖4，此時(shí)P與C重合，

此時(shí)P的橫坐標(biāo)為0，

綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1+ 或4或0．