Question

【題目】如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點E從點A出發(fā)，沿射線AD移動，以CE為直徑作圓O，點F為圓O與射線BD的公共點，連接EF、CF，過點E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點G，連接CG．

（1）試說明四邊形EFCG是矩形；

（2）當圓O與射線BD相切時，點E停止移動，在點E移動的過程中，

①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由；

②求點G移動路線的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①存在，矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為；②．

【解析】

試題分析：（1）只要證到三個內角等于90°即可．

（2）①易證點D在⊙O上，根據(jù)圓周角定理可得∠FCE=∠FDE，從而證到△CFE∽△DAB，根據(jù)相似三角形的性質可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范圍就可求出S矩形ABCD的范圍．

②根據(jù)圓周角定理和矩形的性質可證到∠GDC=∠FDE=定值，從而得到點G的移動的路線是線段，只需找到點G的起點與終點，求出該線段的長度即可．

試題解析：解：（1）證明：如圖，

∵CE為⊙O的直徑，∴∠CFE=∠CGE=90°．

∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．

∴四邊形EFCG是矩形．

（2）①存在．

如答圖1，連接OD，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．

∵點O是CE的中點，∴OD=OC．∴點D在⊙O上．

∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴．

∵AD=4，AB=3，∴BD=5.

∴. ∴S矩形ABCD=2S△CFE=．

∵四邊形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．

∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．

∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°

Ⅰ．當點E在點A（E′）處時，點F在點B（F′）處，點G在點D（G′處，如答圖1所示．

此時，CF=CB=4．

Ⅱ．當點F在點D（F″）處時，直徑F″G″⊥BD，如答圖2所示，此時⊙O與射線BD相切，CF=CD=3．

Ⅲ．當CF⊥BD時，CF最小，此時點F到達F″′，如答圖3所示．S△BCD=BCCD=BDCF″′．

∴4×3=5×CF″′．∴CF″′=．

∴≤CF≤4．

∵S矩形ABCD=，∴，即．

∴矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，點G的起點為D，終點為G″，

∴點G的移動路線是線段DG″．

∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．

∴，即，解得．

∴點G移動路線的長為．