Question

【題目】如圖(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線段BG和AE的關(guān)系(位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系)，請(qǐng)直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論；

（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一角度α后(0°＜α＜90°)，如圖(2)，通過(guò)觀察或測(cè)量等方法判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角度α (0°＜α＜360°)過(guò)程中，當(dāng)BG為最小值時(shí)，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）相等且垂直；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出DG=DE，AD=BD，進(jìn)而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)EA分別交DG、BG于點(diǎn)N、M兩點(diǎn)，首先證明△BDG≌△ADE，進(jìn)而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時(shí)，AE最大，進(jìn)而求出即可．

解：（1）如圖（1）

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延長(zhǎng)EA到BG于一點(diǎn)M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴線段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，
如圖（2），延長(zhǎng)EA分別交DG、BG于點(diǎn)M′、N′兩點(diǎn)，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時(shí)，AE最大；
∵正方形DEFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑的圓，
∴當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線上（即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)270°）時(shí)，BG最大，如圖（3），

若BC=DE=m，則AD=，EF=m，

在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2=

∴AF=，即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF=.