【題目】已知:拋物線y=2ax2﹣ax﹣3(a+1)與x軸交于點AB(點A在點B的左側(cè)).
(1)不論a取何值,拋物線總經(jīng)過第三象限內(nèi)的一個定點C,請直接寫出點C的坐標(biāo);
(2)如圖,當(dāng)AC⊥BC時,求a的值和AB的長;
(3)在(2)的條件下,若點P為拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點,點P的橫坐標(biāo)為h,過點P作PH⊥x軸于點H,交BC于點D,作PE∥AC交BC于點E,設(shè)△ADE的面積為S,請求出S與h的函數(shù)關(guān)系式,并求出S取得最大值時點P的坐標(biāo).
【答案】(1)第三象限內(nèi)的一個定點C為(﹣1,﹣3);(2)a=,AB=;(3)S=﹣h2+h﹣,當(dāng)h=時,S的最大值為,此時點P(,﹣ ).
【解析】
(1)對拋物線解析式進(jìn)行變形,使a的系數(shù)為0,解出x的值,即可確定點C的坐標(biāo);
(2)設(shè)函數(shù)對稱軸與x軸交點為M,根據(jù)拋物線的對稱軸可求出M的坐標(biāo),然后利用勾股定理求出CM的長度,再利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半求出AB的長度,則A,B兩點的坐標(biāo)可求,再將A,B兩點代入解析式中即可求出a的值;
(3)過點E作EF⊥PH于點F,先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,然后將P,D的坐標(biāo)用含h的代數(shù)式表示出來,最后利用S=S△ABE﹣S△ABD=×AB×(yD﹣yE)求解
(1)y=2ax2﹣ax﹣3(a+1)=a(2x2﹣x﹣3)﹣3,
令2x2﹣x﹣3=0,解得:x=或﹣1,
故第三象限內(nèi)的一個定點C為(﹣1,﹣3);
(2)函數(shù)的對稱軸為:x=,
設(shè)函數(shù)對稱軸與x軸交點為M,則其坐標(biāo)為:(,0),
則由勾股定理得CM=,
則AB=2CM= ,
∴
則點A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣3,0)、(,0);
將點A的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得:18a+3a﹣3a﹣3=0,
解得:a= ,
函數(shù)的表達(dá)式為:y=(x+3)(x﹣)=x2﹣x﹣ ;
(3)過點E作EF⊥PH于點F,
設(shè):∠ABC=α,則∠ABC=∠HPE=∠DEF=α,
設(shè)直線BC的解析式為
將點B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式
得 解得:
∴直線BC的表達(dá)式為:,
設(shè)點P(h,),則點D(h,),
故tan∠ABC=tanα= ,則sinα= ,
yD﹣yE=DEsinα=PDsinαsinα,
S=S△ABE﹣S△ABD
=×AB×(yD﹣yE)
=
∵﹣<0,
∴S有最大值,當(dāng)h= 時,S的最大值為:,此時點P().
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,從地面E點測得地下停車場的俯角為30°,斜坡AE的長為16米.地面B點(與E點在同一個水平線)距停車場頂部C點(A、C、B在同一條直線上且與水平線垂直)1.2米.試求該校地下停車場的高度AC及限高CD(結(jié)果精確到0.1米,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是的直徑,是上一點,,垂足為點,是弧的中點,與弦交于點.
(1)如果是弧的中點,求的值;
(2)如果的直徑,,求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸,y軸分別交于點A(﹣1,0),B(3,0),點C三點.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)點D(2,m)在第一象限的拋物線上,連接BC,BD.試問,在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點P,滿足∠PBC=∠DBC?如果存在,請求出點P點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)點N在拋物線的對稱軸上,點M在拋物線上,當(dāng)以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出點M的坐標(biāo).
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【題目】動點A(m+2,3m+4)在直線l上,點B(b,0)在x軸上,如果以B為圓心,半徑為1的圓與直線l有交點,則b的取值范圍是_____.
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【題目】某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會實踐活動時,想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測量教學(xué)樓的高度,他們先在點D處用測角儀測得樓頂M的仰角為30°,再沿DF方向前行40米到達(dá)點E處,在點E處測得樓頂M的仰角為45°,已知測角儀的高AD為1.5米,請根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)求此樓MF的高(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):,,)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點和,與軸交于點.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點是拋物線上第二象限內(nèi)的點,連接,設(shè)的面積為,當(dāng)取最大值時,求點的坐標(biāo);
(3)作射線,將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)交拋物線于另一點,在射線上是否存在一點,使的周長最小.若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1為放置在水平桌面l上的臺燈,底座的高AB為5cm,長度均為20cm的連桿BC、CD與AB始終在同一平面上.
(1)轉(zhuǎn)動連桿BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=150°,如圖2,求連桿端點D離桌面l的高度DE.
(2)將(1)中的連桿CD再繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),經(jīng)試驗后發(fā)現(xiàn),如圖3,當(dāng)∠BCD=150°時臺燈光線最佳.求此時連桿端點D離桌面l的高度比原來降低了多少厘米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知某個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(1,2),B(2,﹣1),C(4,﹣1),且該二次函數(shù)的最小值是﹣2.
(1)請在圖中描出該函數(shù)圖象上另外的兩個點,并畫出圖象;
(2)求出該二次函數(shù)的解析.
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