Question

【題目】已知:如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC，點E為邊BC上一點,且AE=DC.

（1）求證:四邊形AECD是平行四邊形;

（2）當∠B=2∠DCA時,求證四邊形AECD是菱形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由等腰梯形的性質（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性質（等邊對等角）證得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，則四邊形AECD為平行四邊形；
（2）根據(jù)平行線的性質，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代換即可證得∠EAC=∠ECA，根據(jù)等角對等邊，即可得AE=CE，則四邊形AECD為菱形．

證明：(1)∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠DCB,
∵AE=DC，
∴AE=AB,
∴∠B=∠AEB,
∴∠DCB=∠AEB,
∴AE∥DC,
∴四邊形AECD為平行四邊形;
(2)∵AE∥DC，
∴∠EAC=∠DCA,
∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，
∴∠DCB=2∠DCA,
∴∠ECA=∠DCA,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,
∵四邊形AECD為平行四邊形，
∴四邊形AECD為菱形.