Question

【題目】如圖，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交AB于點(diǎn)E．
（1）如圖1，若∠ABC=90°，求證：OE∥AC；
（2）如圖2，已知AB=AC，若sin∠ADE= ， 求tanA的值．

Answer 1

【答案】解:（1）證明：連結(jié)OD，如圖1，
∵DE為⊙O的切線(xiàn)，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
在Rt△OBE和Rt△ODE中，

∴Rt△OBE≌Rt△ODE，
∴∠1=∠2，
∵OC=OD，
∴∠3=∠C，
而∠1+∠2=∠C+∠3，
∴∠2=∠C，
∴OE∥AC；
（2）解：連結(jié)OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如圖2，
∵AB=AC，OC=OD，
而∠ACB=∠OCD，
∴∠A=∠COD，
∵DE為⊙O的切線(xiàn)，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，
∴∠ADE=∠DOF，
∴sin∠DOF=sin∠ADE=，
在Rt△DOF中，sin∠DOF==，
設(shè)DF=x，則OD=3x，
∴OF==2x，DF=CF=x，OC=3x，
∵DHOC=OFCD，
∴DH==x，
在Rt△ODH中，OH==x，
∴tan∠DOH===，
∴tan∠A=．


【解析】（1）連結(jié)OD，如圖1，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得∠ODE=90°，再證明Rt△OBE≌Rt△ODE得到∠1=∠2，加上∠3=∠C，則利用三角形外角性質(zhì)可得∠2=∠C，然后根據(jù)平行線(xiàn)的判定可判斷OE∥AC；
（2）連結(jié)OD，作OF⊥CD于F，DH⊥OC于H，如圖2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，由AB=AC，OC=OD，∠ACB=∠OCD可得∠A=∠COD，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得∠ODE=90°，則∠ADE+∠ODF=90°，
而∠DOF+∠ODF=90°，利用等角的余角相等得∠ADE=∠DOF，于是有sin∠DOF=sin∠ADE= ， 在Rt△DOF中，根據(jù)正弦的定義得到= ， 則可設(shè)DF=x，則OD=3x，利用勾股定理計(jì)算出OF=2x，DF=CF=x，OC=3x，接著可運(yùn)用面積法計(jì)算出DH=span>x，然后在Rt△ODH中用勾股定理計(jì)算出OH=x，再根據(jù)正切的定義求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線(xiàn)的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．