Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為2，中心為M，⊙O的半徑為r，圓心O在射線BD上運動，⊙O與邊CD僅有一個公共點E.

（1）如圖1，若圓心O在線段MD上，點M在⊙O上，OM=DE，判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2，⊙O與邊AD交于點F，連接MF，過點M作MF的垂線與邊CD交于點G，若，設(shè)點O與點M之間的距離為,EG=,當時，求的函數(shù)解析式.

Answer 1

【答案】（1）相切，證明詳見解析；（2）.

【解析】

（1）過O作OF⊥AD于F，連接OE,可證△ODF≌△ODE，可得OF=OE,根據(jù)相切判定即可得出：AD與相切；

（2）連接MC，可證，可得DF=CG，過點E作EP⊥BD于P，過點F作FH⊥BD于H設(shè)DP=a，DH=b，由于△DHF與△DPE都是等腰直角三角形，設(shè)EP=DP=a，FH=DH=b,利用勾股定理：可列出方程組解得a=b，可得 ， .由于 可得，由 可得OD=a， 由OD=OM-DM，可得， 代入2DF+y=2可得，整理得y與x的函數(shù)解析式,由DF≤1， EG≥0，可得x的取值范圍，即可求解問題.

解：（1）直線AD與⊙O相切，理由如下：

過O作OF⊥AD于F，連接OE

∴∠OFD=90°

在正方形ABCD中，BD平分∠ADE，∠ADE=90°

∴∠FDO=∠EDO=45°

∵與CD僅有一個公共點E

∴CD與相切

∴OE⊥DC，OE為半徑

∴∠OED=90°

又∵OD=OD

∴△ODF≌△ODE

∴OF=OE

∵OF⊥AD、OF=OE

∴AD與相切

（2）連接MC

在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠ADB =45°

∵∠BCD=90°，M為正方形的中心

∴MC=MD=，∠ADB=∠DCM=45°

∵FM⊥MG，即∠FMG=90°

且在正方形ABCD中，∠DMC=90°

∴∠FMD+∠DMG=∠DMG+∠CMG

∴∠FMD=∠CMG

∴

∴DF=CG

過點E作EP⊥BD于P，過點F作FH⊥BD于H

設(shè)DP=a，DH=b

∵∠FDM=∠EDM=45°

∴△DHF與△DPE都是等腰直角三角形

∴EP=DP=a，FH=DH=b

∵ ，且由（1）得

∴點O在正方形ABCD外

∴OP=OD+DP，OH=OD+DH

在Rt△OPE與Rt△OHF中

得：（a-b）(OD+a+b)=0

∴a-b=0或OD+a+b=0

∵OD+a+b>0

∴a-b=0

∴a=b

即點P與點H重合，也即EF⊥BD，垂足為P（或H）

∵DP=a，DH=b

∵在Rt△DPE中，

在Rt△DHF中，

∴DF=DE

∵CD=DE+EG+CG=2，即2DF+EG=2

∴2DF+y=2

∵在Rt△DPF中， ，且

∴

在Rt△OPE與Rt△OHF中

∴

∴OD+a=2a

∴OD=a

又因為 OD=OM-DM，即

∴

又因為 2DF+y=2

∴

∴

∴

∵DF≤1，且2DF+EG=2

∴EG≥0，即y≥0

∴

∴

∴y與x的函數(shù)解析式為