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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線yax2+2ax3aa0)與x軸相交于A、B兩點與y軸相交于點C,頂點為D,直線DCx軸相交于點E

1)當a=﹣1時,拋物線頂點D的坐標為   ,OE   ;

2OE的長是否與a值有關,說明你的理由;

3)設∠DEOβ,當β30°增加到60°的過程中,點D運動的路徑長;

4)以DE為斜邊,在直線DE的右上方作等腰RtPDE.設Pm,n),請直接寫出n關于m的函數解析式及自變量m的取值范圍.

【答案】(1)(﹣1,4),32OE的長與a值無關(34nm+1m>﹣1

【解析】

1)求出直線CD的解析式即可解決問題;

2)利用參數a,求出直線CD的解析式求出點E坐標即可判斷;

3)求出落在特殊情形下的a的值即可點D運動的路徑長;

4)如圖,作PM⊥對稱軸于M,PNABN.兩條全等三角形的性質即可解決問題.

1)當a=﹣1時,拋物線的解析式為y=﹣x22x+3,

∴頂點D(﹣1,4),C03),

∴直線CD的解析式為y=﹣x+3

E3,0),

OE3,

故答案為:(﹣14),3

2)結論:OE的長與a值無關.

理由:∵yax2+2ax3a,

C0,﹣3a),D(﹣1,﹣4a),

∴直線CD的解析式為yax3a,

y0時,x3

E3,0),

OE3

OE的長與a值無關.

3)如圖,

β30°時,OCOE,

∴﹣3a

a=﹣,此時點D′的坐標是(﹣1,).

β60°時,在RtOCE中,OCOE3,

∴﹣3a3

a=﹣,此時點D的坐標是(﹣1,4).

∴點D運動的路徑長為:4;

4)如圖,作PM⊥對稱軸于MPNx軸于N

PDPE,∠PMD=∠PNE90°,∠DPE=∠MPN90°,

∴∠DPM=∠EPN

∴△DPM≌△EPNAAS),

PMPNDMEN,

D(﹣1,﹣4a),E3,0),

∴由PMPN得到:nm+1

DMEN得到:m3=﹣4an

當頂點Dx軸上時,P12),此時m的值1,

∵拋物線的頂點在第二象限,

m>﹣1

nm+1m>﹣1).

練習冊系列答案
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