Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A、B兩點與y軸相交于點C，頂點為D，直線DC與x軸相交于點E．

（1）當a＝﹣1時，拋物線頂點D的坐標為　 　，OE＝　 　；

（2）OE的長是否與a值有關，說明你的理由；

（3）設∠DEO＝β，當β從30°增加到60°的過程中，點D運動的路徑長；

（4）以DE為斜邊，在直線DE的右上方作等腰Rt△PDE．設P（m，n），請直接寫出n關于m的函數解析式及自變量m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4），3（2）OE的長與a值無關（3）（4）n＝m+1（m＞﹣1）

【解析】

（1）求出直線CD的解析式即可解決問題；

（2）利用參數a，求出直線CD的解析式求出點E坐標即可判斷；

（3）求出落在特殊情形下的a的值即可點D運動的路徑長；

（4）如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質即可解決問題．

（1）當a＝﹣1時，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∴頂點D（﹣1，4），C（0，3），

∴直線CD的解析式為y＝﹣x+3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

故答案為：（﹣1，4），3；

（2）結論：OE的長與a值無關．

理由：∵y＝ax2+2ax﹣3a，

∴C（0，﹣3a），D（﹣1，﹣4a），

∴直線CD的解析式為y＝ax﹣3a，

當y＝0時，x＝3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

∴OE的長與a值無關．

（3）如圖，

當β＝30°時，OC＝OE＝，

∴﹣3a＝，

∴a＝﹣，此時點D′的坐標是（﹣1，）．

當β＝60°時，在Rt△OCE中，OC＝OE＝3，

∴﹣3a＝3，

∴a＝﹣，此時點D的坐標是（﹣1，4）．

∴點D運動的路徑長為：4﹣＝；

（4）如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥x軸于N．

∵PD＝PE，∠PMD＝∠PNE＝90°，∠DPE＝∠MPN＝90°，

∴∠DPM＝∠EPN，

∴△DPM≌△EPN（AAS），

∴PM＝PN，DM＝EN，

∵D（﹣1，﹣4a），E（3，0），

∴由PM＝PN得到：n＝m+1．

由DM＝EN得到：m﹣3＝﹣4a﹣n．

當頂點D在x軸上時，P（1，2），此時m的值1，

∵拋物線的頂點在第二象限，

∴m＞﹣1．

∴n＝m+1（m＞﹣1）．