【題目】如圖,公路為東西走向,在點(diǎn)北偏東方向上,距離千米處是村莊,在點(diǎn)北偏東方向上,距離千米處是村莊;要在公路旁修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站(取點(diǎn)在上),使得,兩村莊到站的距離之和最短,請(qǐng)?jiān)趫D中作出的位置(不寫(xiě)作法)并計(jì)算:
(1),兩村莊之間的距離;
(2)到、距離之和的最小值.(參考數(shù)據(jù):sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75計(jì)算結(jié)果保留根號(hào).)
【答案】(1) M,N兩村莊之間的距離為千米;(2) 村莊M、N到P站的最短距離和是5千米.
【解析】
(1)作N關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'與AB交于E,連結(jié)MN’與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購(gòu)站的位置.求出DN,DM,利用勾股定理即可解決問(wèn)題.
(2)由題意可知,M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是MN′的長(zhǎng).
解:作N關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'與AB交于E,連結(jié)MN’與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購(gòu)站的位置.
(1)在Rt△ANE中,AN=10,∠NAB=36.5°
∴NE=ANsin∠NAB=10sin36.5°=6,
AE=ANcos∠NAB=10cos36.5°=8,
過(guò)M作MC⊥AB于點(diǎn)C,
在Rt△MAC中,AM=5,∠MAB=53.5°
∴AC=MAsin∠AMB=MAsin36.5°=3,
MC=MAcos∠AMC=MAcos36.5°=4,
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥NE于點(diǎn)D,
在Rt△MND中,MD=AE-AC=5,
ND=NE-MC=2,
∴MN==,
即M,N兩村莊之間的距離為千米.
(2)由題意可知,M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是MN′的長(zhǎng).
DN′=10,MD=5,在Rt△MDN′中,由勾股定理,得
MN′==5(千米)
∴村莊M、N到P站的最短距離和是5千米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則下面說(shuō)法正確的是( 。
A. 1一定不是方程x2+bx+a=0的根B. 0一定不是方程x2+bx+a=0的根
C. ﹣1可能是方程x2+bx+a=0的根D. 1和﹣1都是方程x2+bx+a=0的根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三角形紙片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=10cm,將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊,使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處,折痕記為BD(如圖1),剪去△CDE后得到雙層△BDE(如圖2),再沿著過(guò)△BDE某頂點(diǎn)的直線(xiàn)將雙層三角形剪開(kāi),使得展開(kāi)后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形,則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為_____cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,直線(xiàn)l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(0,﹣1),拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與直線(xiàn)l的另一個(gè)交點(diǎn)為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線(xiàn)的解析式;
(2)點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上,DE∥y軸交直線(xiàn)l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線(xiàn)l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線(xiàn)上,那么我們就稱(chēng)這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫(xiě)出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上,設(shè)點(diǎn)B(4,4),點(diǎn)P(t,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H,直線(xiàn)OH交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D,連AD.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上時(shí),求證:OP=CD;
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí),求t的值;
(3)如圖2,拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+4上是否存在點(diǎn)Q,使得以P、D、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與直線(xiàn)AB交于點(diǎn)A(2,3),直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)B(4,0),過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)BC,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,在平面內(nèi)存在點(diǎn)D,使得以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(操作發(fā)現(xiàn))
(1)如圖1,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,連接BD,則∠ABD的度數(shù)是______.
(類(lèi)比探究)
(2)如圖2,在等腰直角三角形ABC內(nèi)取一點(diǎn)P,使∠APB=135°,將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP',連接PP'.請(qǐng)猜想BP與CP'有怎樣的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(解決問(wèn)題)
(3)如圖3,在等腰直角三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC.求證:PC+PA>PB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+2ax﹣3a(a<0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,直線(xiàn)DC與x軸相交于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)a=﹣1時(shí),拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ,OE= ;
(2)OE的長(zhǎng)是否與a值有關(guān),說(shuō)明你的理由;
(3)設(shè)∠DEO=β,當(dāng)β從30°增加到60°的過(guò)程中,點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng);
(4)以DE為斜邊,在直線(xiàn)DE的右上方作等腰Rt△PDE.設(shè)P(m,n),請(qǐng)直接寫(xiě)出n關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,AB是直徑,AD是弦,∠ADE = 60°,∠C = 30°.
⑴判斷直線(xiàn)CD是否是⊙O的切線(xiàn),并說(shuō)明理由;
⑵若CD = ,求BC的長(zhǎng).
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