Question

12．如圖1，在?ABCD中，E、F兩點(diǎn)分別從A、D兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在AD、DC邊上勻速運(yùn)動（E、F兩點(diǎn)不與?ABCD的頂點(diǎn)重合），連結(jié)BE、BF、EF．

（1）如圖2，當(dāng)?ABCD是矩形，AB=6，AD=8，∠BEF=90°時，求AE的長．
（2）如圖2，當(dāng)?ABCD是菱形，且∠DAB=60°時，試判斷△BEF的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，在第（2）題的條件下，設(shè)菱形ABCD的邊長為a，AE的長為x，試求△BEF面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)矩形的性質(zhì)可知∠D=∠A=90°，接下來，依據(jù)同角的余角相等可得到∠DFE=∠AEB，然后依據(jù)ASAS證明△DEF≌△ABE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到DE=6，從而可求得AE的長；
（2）連結(jié)BD．首先證明△ADB為等邊三角形，于是得到BD=BC，然后再證明△BED≌△BFC，△AEB≌△DFB，由全等三角形的性質(zhì)得到BE=BF，∠ABE=∠DBF，接下來證明∠EBF=60°，從而可判定△EBF為等邊三角形．
（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足為M、N，過點(diǎn)B作BG⊥DC，垂足為G．首先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，然后依據(jù)△EFB的面積=菱形的面積-△AEB的面積-△DFE的面積-△FCB的面積列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=∠A=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°．
又∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠AEB．
在△DEF和△ABE中$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠AEB}\\{DF=AE}\\{∠D=∠A=90°}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△ABE．
∴AB=DE=6．
∴AE=AD-DE=8-6=2．
（2）如圖2所示：連結(jié)BD．

∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，
∴AD=AB=DC=BC，∠EDB=60°．
∵∠A=60°，AD=AB，
∴△ADB為等邊三角形．
∴AD=AB=BD．
∴DB=BC．
∵AD=DC，AE=DF，
∴DE=FC．
在△BED和△BFC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=FC}\\{∠EDB=∠C}\\{DB=CB}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BFC．
∴BE=BF．
在△AEB和△DFB中$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠A=∠FDB=60°}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DFB．
∴∠ABE=∠DBF．
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠ABE+∠EBD=60°．
∴△EBF為等邊三角形．
（3）如圖3所示：過點(diǎn)E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足為M、N，過點(diǎn)B作BG⊥DC，垂足為G．

∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x），BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
∵△EFB的面積=菱形的面積-△AEB的面積-△DFE的面積-△FCB的面積，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•a-$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a-x）-$\frac{1}{2}$•（a-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$ax+$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．
∴當(dāng)x=-$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{4}a}{\frac{\sqrt{3}}{4}×2}$=$\frac{a}{2}$時，y取得最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{16}$a²．

點(diǎn)評 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，依據(jù)△EFB的面積=菱形的面積-△AEB的面積-△DFE的面積-△FCB的面積列出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．