Question

1．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連結(jié)BF、CD、CO，當(dāng)點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，BF和CD的數(shù)量關(guān)系是BF=CD．
（2）深入探究受（1）中問(wèn)題啟發(fā)，小剛同學(xué)將圖①中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖②，并猜想BF=CD成立，請(qǐng)你給出證明；
（3）拓展延伸如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為點(diǎn)O，此時(shí)，BF=CD還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)求出之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BF與CD交與點(diǎn)G，易證OD=OF，CO=BO，即可證明△BOF≌△COD，可得BF=CD；
（2）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD進(jìn)而得出想BF=CD成立；
（3）如答圖③所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，進(jìn)而得出$\frac{BF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）如圖①延長(zhǎng)BF與CD交與點(diǎn)G，

∵O是等腰直角△DEF斜邊EF中點(diǎn)，
∴EF⊥AB，OD=OF，
∵O是等腰直角△ABC斜邊AB中點(diǎn)，
∴CO=BO，
∵在△BOF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=BO}\\{∠BOF=∠COD}\\{DO=FO}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD，（SAS）
∴BF=CD；
故答案為：BF=DC；

（2）猜想：BF=CD．理由如下：
如答圖②所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn)，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF與△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．

（2）答：（1）中的結(jié)論不成立．
如答圖③所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)，
∴$\frac{OB}{OC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=90°．
∵△DEF為等邊三角形，點(diǎn)O為邊EF的中點(diǎn)，
∴$\frac{OF}{OD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠DOF=90°．
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF與△COD中，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴$\frac{BF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是：第一，善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟練運(yùn)用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)．