Question

在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠BAC的平分線AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB于G，求證：四邊形CFGE是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：根據(jù)全等三角形的判定定理HL進行證明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根據(jù)平行線EG∥CD的性質(zhì)、∠BAC平分線的性質(zhì)以及等量代換推知∠FEC=∠CFE，易證CF=CE；從而根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷．

解答：證明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分線，
∴GE=CE．
在Rt△AEG與Rt△AEC中，

GE=CE AE=AE

，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；
∴GE=EC，
∵CD是AB邊上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四邊形GECF是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．