Question

如圖，AB、CD是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，EF⊥AB，EF=EB=

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CD，F(xiàn)E、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，DG=EG，連結(jié)FD．
（1）求DG的長(zhǎng)．
（2）試說明DF是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：幾何圖形問題,數(shù)形結(jié)合,方程思想

分析：（1）首先設(shè)DG=x，則DG=EG=x，即可求得EF=EB=2，OG=2+x，然后在Rt△OEG中，4+x²=（x+2）²，求得答案；
（2）易證得△FDG≌△OEG，則可得∠ODF=∠GDF=90°，即可證得DF是⊙O的切線．

解答：（1）解：設(shè)DG=x，則DG=EG=x，
∵AB、CD是⊙O的直徑，AB=4，
∴EF=EB=

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CD=2，
∴OG=OD+DG=x+2，
∵EF⊥AB，
∴在Rt△OEG中，4²+x²=（x+2）²，
解得：x=3，
即DG=3；

（2）證明：∵DG=EG，OD=EF，
∴OG=FG，
在△FDG和△OEG中，

OG=FG ∠G=∠G DG=EG

，
∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG，
∵∠OEG=90°，
∴∠FDG=90°，
即OD⊥DF，
又∵DF經(jīng)過半徑OD的外端，
∴DF是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．