Question

如圖，已知拋物線y=x²+4x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接CA，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)M是線段AC下方拋物線上一點(diǎn)，作MN∥y軸，交AC于點(diǎn)N，是否存在點(diǎn)M，使得CN=OM？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）過點(diǎn)B作BF∥y軸，交AC于點(diǎn)F．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線DE上一動(dòng)點(diǎn)．是否存在點(diǎn)P，使得A，F(xiàn)，P，Q四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,存在型,分類討論

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式列式計(jì)算即可得解，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到直線AC的解析式，判斷出AC與y軸的夾角度數(shù)，再根據(jù)CN=OM判斷出四邊形MNCO是等腰梯形或平行四邊形，然后寫出直線OM的解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，分①點(diǎn)P在對(duì)稱軸左邊時(shí)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式計(jì)算即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，②點(diǎn)P在對(duì)稱軸右邊時(shí)，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，判斷出點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，③AF是對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P為二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）對(duì)稱軸：直線x=-

4

2×1

=-2，
令y=0，則x²+4x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=-3，
所以，A（-3，0）；

（2）存在．
令x=0，則y=3，
所以，點(diǎn)C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=x+3，
∴直線AC與y軸的夾角為45°，
∵CN=OM，
∴四邊形MNCO是等腰梯形或平行四邊形，
當(dāng)四邊形MNCO是等腰梯形時(shí)，直線OM的解析式為y=-x，
聯(lián)立

y=x2+4x+3 y=-x

，
消掉y得，x²+5x+3=0，
解得x₁=

-5+ 13

2

，x₂=

-5- 13

2

（舍去），
y=-x=

5- 13

2

，
此時(shí)，點(diǎn)M（

-5+ 13

2

，

5- 13

2

），
當(dāng)四邊形MNCO是平行四邊形時(shí)，直線OM的解析式為y=x，
聯(lián)立

y=x2+4x+3 y=x

，
消掉y得，x²+3x+3=0，
△=3²-4×1×3=-3＜0，
方程無解，
綜上所述，點(diǎn)M（

-5+ 13

2

，

5- 13

2

）；

（3）存在．
由（1）可得點(diǎn)B（-1，0），
①點(diǎn)P在對(duì)稱軸左邊時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-3-1=-4，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=（-4）²+4×（-4）+3=3
∴P₁（-4，3），
②點(diǎn)P在對(duì)稱軸右邊時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1+1=0，
此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，A、F、P、Q四點(diǎn)共線，不能構(gòu)成平行四邊形，
③AF是對(duì)角線時(shí)，∵A（-3，0），B（-1，0），
∴點(diǎn)D是AF的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P在直線QD上，
即點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)P為二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
∴點(diǎn)P₂（-2，-1），
綜上所述，P₁（-4，3），P₂（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，等腰梯形的兩腰相等，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．