【題目】閱讀下面材料:如圖1,圓的概念:在平面內(nèi),線段PA繞它固定的一個端點P旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.就是說,到某個定點等于定長的所有點在同一個圓上.圓心在P(a,b),半徑為r的圓的方程可以寫為:(x-a)2+(y-b)2=r2.如:圓心在P(2,-1),半徑為5的圓的方程為:(x-2)2+(y+1)2=25.

(1)填空: ①以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓的方程為:________; ②以B(-1,-2)為圓心, 為半徑的圓的方程為:________;

(2)根據(jù)以上材料解決以下問題:

如圖2,B(-6,0)為圓心的圓與y軸相切于原點,C是☉B上一點,連接OC,BDOC垂足為D,延長BDy軸于點E,已知sinAOC=.

①連接EC,證明EC是☉B的切線;

②在BE上是否存在一點P,使PB=PC=PE=PO,若存在,P點坐標,并寫出以P為圓心,PB為半徑的☉P的方程;若不存在,說明理由.

【答案】(1)①方程為:(x-3)2+y2=1;②方程為:(x+1)2+(y+2)2=3.(2)①證明見解析;②存在,證明見解析.

【解析】(1)根據(jù)閱讀材料中的定義求解;

(2)①根據(jù)垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD,則BE垂直平分OC,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EO=EC,則∠EOC=∠ECO,

加上∠BOC=∠BCO,易得∠BOE=∠BCE=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到EC是⊙B的切線;

②由∠BOE=∠BCE=90°,根據(jù)圓周角定理得點C和點O偶在以BE為直徑的圓上,即當P點為BE的中點時,滿足PB=PC=PE=PO,利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC,則sin∠BOE=sin∠AOC=,在Rt△BOE中,利用正弦的定3義計算出BE=10,利用勾股定理計算出OE=8,則E點坐標為(0,8),于是得到線段AB的中點P的坐標為(﹣3,4),PB=5,然后寫出以P(﹣3,4)為圓心,以5為半徑的⊙P的方程.

解:①以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓的方程為(x﹣3)2+y2=1;

②以B(﹣1,﹣2)為圓心, 為半徑的圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=3;

故答案為(x﹣3)2+y2=1;(x+1)2+(y+2)2=3;

(2)①連接BC.

∵OB=BC,BD⊥OC,∴∠OBD=∠CBD.

又∵BE=BE,

∴△BOE≌△BCE,

∴∠BCE=∠BOE.

∵AO⊥OE,∴∠BCE=90°.

∴EC是☉B(tài)的切線.

②存在.

取BE的中點P,連接PC,PO.

∵△BCE和△BOE是直角三角形,

∴PC=BE,PO=BE,

∴PC=PB=PO=PE.

過P作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N.

∵P是BE中點,∴OM=OB,ON=OE.

∵∠AOC+∠EOC=90°,∠BEO+∠EOC=90°,

∴∠AOC=∠BEO.

∵sin∠AOC=,∴sin∠BEO=.

=,即=,∴BE=10.

由勾股定理:OE==8,

P(-3,4),PB==5.

∴☉P的方程為(x+3)2+(y-4)2=25.

“點睛”本題了圓的綜合題:熟練掌握垂徑定理、切線的判定定理、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì);閱讀理解能力也是本題考查的重點;會運用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理進行幾何計算.

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