Question

【題目】若三個非零實數(shù)，，滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)，，構(gòu)成“和諧三組數(shù)”.

（1）實數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”嗎？請說明理由；

（2）若，，三點均在函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象上，且這三點的縱坐標，，構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，求實數(shù)的值；

（3）若直線與軸交于點，與拋物線交于，兩點.

①求證：，，三點的橫坐標，，構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

②若，，求點與原點的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不能；（2）t的值為﹣4、﹣2或2；（3）①證明見解析；②≤OP≤且OP≠1．

【解析】

試題（1）由和諧三組數(shù)的定義進行驗證即可；

（2）把M、N、R三點的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3，再由和諧三組數(shù)的定義可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；

（3）①由直線解析式可求得x1=﹣，聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得，，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得的取值范圍，令m=，利用兩點間距離公式可得到OP2關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．

試題解析：（1）不能，理由如下：

∵1、2、3的倒數(shù)分別為1、、，∴≠1，1+≠，1+≠，∴實數(shù)1，2，3不可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三點均在函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，∴y1、y2、y3均不為0，且y1=，y2=，y3=，∴=， =， =，∵y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，∴有以下三種情況：

當=+時，則=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；

當=+時，則=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；

當=+時，則=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；

∴t的值為﹣4、﹣2或2；

（3）①∵a、b、c均不為0，∴x1，x2，x3都不為0，∵直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x1，0），∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，∵直線與拋物線交與B（x2，y2），C（x3，y3）兩點，∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的兩根，∴，，∴= = =﹣=，∴x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

②∵x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，），∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，令m=，則﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴當﹣＜m＜﹣時，OP2隨m的增大而減小，當m=﹣時，OP2有最大值，當m=﹣時，OP2有最小值，當﹣＜m＜時，OP2隨m的增大而增大，當m=﹣時，OP2有最小值，當m=時，OP2有最大值，∴≤OP2≤且OP2≠1，∵P到原點的距離為非負數(shù)，∴≤OP≤且OP≠1．