Question

【題目】己知長(zhǎng)方形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，已知點(diǎn)在第一象限且是直線上一點(diǎn)，若是等腰直角三角形．

（）求點(diǎn)的坐標(biāo)并寫(xiě)出解題過(guò)程．

（）直角向下平移個(gè)單位后，在該直線上是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（）；（）存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，坐標(biāo)為，，．

【解析】試題分析：

（1）由點(diǎn)D和點(diǎn)A都在直線y=2x+6上可知，若△APD是等腰直角三角形，則只能是點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則易證≌，由此可得，，從而可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6-m，14），將D的坐標(biāo)代入y=2x+6中，解得m的值，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）將直線y=2x+6向下平移12個(gè)單位所得新直線的解析式為：y=2x-6，由圖可知，點(diǎn)A、P在直線y=2x-6兩側(cè)，故當(dāng)△APD為等腰直角三角形時(shí)，存在∠ADP=90°，∠APD=90°兩種可能情況，其中當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，又存在點(diǎn)D在點(diǎn)A的上方和下方兩種情況，如圖2、圖3和圖4，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行推理計(jì)算即可.

試題解析：

（）∵點(diǎn)A、D都在直線y-2x+6上，

∴當(dāng)△APD是等腰直角三角形時(shí)，只能是點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，

如圖1：過(guò)作軸于，軸于，

∵，

∴≌，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

代入中得：-2m+6=14，解得：m=2，

∴；

（）存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，

直線向下平移個(gè)單位后變成，

當(dāng)時(shí)，

①、如圖2所示，過(guò)作交、于、，

∵，，

∴≌，

∴，，

設(shè)，

∴，，

∴，

，

∴

．

∴，

代入中得，

，

∴．

②如圖3所示：

過(guò)作平行線交延長(zhǎng)線于，

∴≌，

∴，，

∴，

代入中得，

，

∴．

③當(dāng)時(shí)，如圖4，過(guò)作，交其垂線于，

∴≌，

∴，，

∴，

代入中，

，

∴，

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，．