Question

將自然數(shù)1，2，3，…，依次寫(xiě)下去形成一個(gè)多位數(shù)“123456789101112…”．當(dāng)寫(xiě)到某個(gè)數(shù)N時(shí)，所形成的多位數(shù)恰好第一次能被90整除．請(qǐng)問(wèn)：N是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問(wèn)題

分析：90=10×9，10和9互質(zhì)，即這個(gè)自然數(shù)能同時(shí)被10和9整除．因?yàn)槿我?個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和能被9整除，所以任意9個(gè)連續(xù)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除．那么，當(dāng)寫(xiě)到9、18、27、36、45、…90…時(shí)，能被9整除．因?yàn)?、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數(shù)，所以，寫(xiě)到8、17、26、35、44、…80…時(shí)也都能被9整除．又因?yàn)楸?0整除的數(shù)末尾數(shù)只能是0．所以這個(gè)自然數(shù)為80．

解答： 解：因?yàn)?0=10×9，8和9互質(zhì)，任意9個(gè)連續(xù)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除，
則9、18、27、36、45、…時(shí)，能被9整除．
因?yàn)?、18、27、36、45、…本身又都是9的倍數(shù)，
所以寫(xiě)到8、17、26、35、44、…80…時(shí)也都能被9整除．
因?yàn)楸?0整除的數(shù)末尾數(shù)只能是0，
所以這個(gè)自然數(shù)N為80．
答：N是80．

點(diǎn)評(píng)：考查了數(shù)的整除特征，關(guān)鍵是熟悉任意9個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和能被9整除，被10整除的數(shù)的特征為末尾數(shù)字為0．