Question

一個(gè)兩位數(shù)N，在它的左邊添上適當(dāng)?shù)膬蓚�(gè)數(shù)碼變成四位數(shù)時(shí)恰是原數(shù)N的平方，試求所有這樣的兩位數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)性質(zhì)

專(zhuān)題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專(zhuān)題

分析：此題可以設(shè)添上的兩個(gè)數(shù)碼為 a，b，記k=．按題意有k×100+N=N²，即 N（N-1）=2²5²k．欲使N²是一個(gè)四位數(shù)，必須N≥32．又N與N-1互素，所以由2²5²|N（N-1）可得：或者2²|N，5²|（N-1）；或者5²|N，2²|（N-1）．然后針對(duì)這兩種情況進(jìn)行討論解決．

解答： 解：設(shè)添上的兩個(gè)數(shù)碼為 a，b，記k=．按題意有k×100+N=N²，即 N（N-1）=2²5²k．欲使N²是一個(gè)四位數(shù)，必須N≥32．又N與N-1互素，所以由2²5²|N（N-1）可得：或者2²|N，5²|（N-1）；或者5²|N，2²|（N-1）．
當(dāng)5²|N，2²|（N-1）時(shí)，N必為奇數(shù)．這就是說(shuō)N必是大于32且為5²=25的倍數(shù)的奇兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)N可能取的值只有75，但此時(shí)，2²74，所以，此時(shí)無(wú)解．
同理，當(dāng)2²|N，5²|（N-1）時(shí)，這時(shí)N-1可能取的值只有75，此時(shí)2²|76，所以N=76．
這就解得只有76這一個(gè)兩位數(shù)滿(mǎn)足所說(shuō)性質(zhì)：5776=76²．

點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)設(shè)添上的兩個(gè)數(shù)碼為 a，b，列出關(guān)系式，得出兩種情況，通過(guò)討論，解決問(wèn)題．