例4．若不等式對(duì)一切均成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：     

令，則要使它對(duì)均有，只要有

         或。

點(diǎn)評(píng)：在有幾個(gè)變量的問(wèn)題中，常常有一個(gè)變?cè)�處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類問(wèn)題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變?cè)�在�?wèn)題中的地位，就能使問(wèn)題迎刃而解。本題中，若視x為主元來(lái)處理，既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題變成關(guān)于p的一次不等式，使問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡(jiǎn)單易行。

例3．在的展開(kāi)式中x的系數(shù)為( )．

(A)160            (B)240              (C)360           (D)800

分析與解：本題要求展開(kāi)式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過(guò)多項(xiàng)式乘法法則及二項(xiàng)展開(kāi)式定理，因此，就要把對(duì)x系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

思路1：直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則和兩個(gè)基本原理求解，則展開(kāi)式是一個(gè)關(guān)于x的10次多項(xiàng)式， =(x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2)，它的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號(hào)中的一個(gè)中選取一次項(xiàng)3x并在其余四個(gè)括號(hào)中均選 擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到，故為?(3x)??2⁴=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選(B)．

思路2 利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘冪轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn)行計(jì)算，∵x²+3x+2=x²+ (3x+2)=(x²+2)+3x=(x²+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法．①如利用x²+3x+2=x²+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)⁵中會(huì)有x項(xiàng)，即(3x)?2⁴=240x，故選(B)；②如利用x²+3x+2= (x²+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則只 (x²+2) ⁴?3x中含有x一次項(xiàng)，即?3x?C₄⁴?2⁴=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有?(x²+3x)?2⁴中會(huì)有x項(xiàng)，即240x；④如選擇x²+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，=×展開(kāi)式中的一次項(xiàng)x只能由(1+x)⁵中的一次項(xiàng)乘以(2+x)⁵展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)⁵展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以(1+x)⁵展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為x?2⁵+•2⁴•x••1⁵=160x+80x=240x，故選(B)． 

評(píng)注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知。

例2．如果，三棱錐P―ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h．求證三棱錐P―ABC的體積．

分析：如視P為頂點(diǎn)，△ABC為底面，則無(wú)論是S_△ABC以及高h(yuǎn)都不好求．如果觀察圖形，換個(gè)角度看問(wèn)題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境．

解：如圖，連結(jié)EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

V_P－ABC=V_P－ECD+V_A－ECD=S_△ECD•AE+S_△ECD•PE=S_△ECD •PA=•BC?ED?PA=．
   評(píng)注：輔助截面ECD的添設(shè)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題迎刃而解．

例1．某廠2001年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同，問(wèn)全年總利潤(rùn)m與全年總投入N的大小關(guān)系是              （   ）

A. m>N         B. m<N        C.m=N        D.無(wú)法確定

[分析]每月的利潤(rùn)組成一個(gè)等差數(shù)列{an}，且公差d＞0，每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列{bn}，且公比q＞1。，且，比較與的大小。

若直接求和，很難比較出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式bn=a1qn-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列。

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象，直觀地可以看出ai≥bi   則＞，即m＞N。

[點(diǎn)評(píng)]把一個(gè)原本是求和的問(wèn)題，退化到各項(xiàng)的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在對(duì)問(wèn)題的化歸過(guò)程中進(jìn)一步挖掘了問(wèn)題的內(nèi)涵，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的反思、再加工后，使問(wèn)題直觀、形象，使解答更清新。

4．化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：

（1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決。

（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。

（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。

（4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決。

（5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。

3．轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ�得結(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。

2．化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。

1．解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題（相對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題），通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”。

  15. 解：原方程可化為

    令

    則對(duì)原方程的解的研究，可轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的研究

    下圖畫(huà)出了的圖象，由圖象可看出

    （1）當(dāng)直線時(shí)，與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解；

    （2）當(dāng)直線圖象與雙曲線漸近線重合，顯然直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，即當(dāng)k=0時(shí)，原方程無(wú)解；

    （3）當(dāng)直線的縱截距滿足，即

時(shí)，直線與雙曲線總有交點(diǎn)，原方程有解。

    綜上所述，當(dāng)

  14. 解：（1）若橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它們方程分別為

    ，依題意

    （2）若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為

    雙曲線方程為，依題意有