1.解決數(shù)學(xué)問題時(shí).常遇到一些問題直接求解較為困難.通過觀察.分析.類比.聯(lián)想等思維過程.選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換.將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對來說.對自己較熟悉的問題).通過新問題的求解.達(dá)到解決原問題的目的.這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法 . 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

                是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的思維模式.

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(本題滿分12分)閱讀下列材料,解決數(shù)學(xué)問題.圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì),被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)之中,比如橢圓鏡面用來制作電影放映機(jī)的聚光燈,拋物面用來制作探照燈等,它們的截面分別是橢圓和拋物線.雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì),從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線是發(fā)散的,它們好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣,如圖(1)所示.反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸,以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線,記作C.

(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo);

(Ⅱ)如圖(2),從曲線C的焦點(diǎn)F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直,求入射光線的方程.

(1)           (2) 

 

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解析:本例主要是培養(yǎng)學(xué)生理解概念的程度,了解解決數(shù)學(xué)問題都需要算法

算法一:按照逐一相加的程序進(jìn)行.

第一步 計(jì)算1+2,得到3;

第二步 將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加,得到6;

第三步 將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加,得到10;

第四步 將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加,得到15;

第五步 將第四步中的運(yùn)算結(jié)果15與6相加,得到21;

第六步 將第五步中的運(yùn)算結(jié)果21與7相加,得到28.

算法二:可以運(yùn)用公式1+2+3+…+n直接計(jì)算.

第一步 取n=7;

第二步 計(jì)算;

第三步 輸出運(yùn)算結(jié)果.

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(本題滿分12分)閱讀下列材料,解決數(shù)學(xué)問題.

圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì),被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)之中,比如橢圓鏡面用來制作電影放映機(jī)的聚光燈,拋物面用來制作探照燈等,它們的截面分別是橢圓和拋物線.雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì),從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線是發(fā)散的,它們好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出的一樣,如右上圖所示.

反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸,以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線,記作C.

(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點(diǎn)坐標(biāo);

(Ⅱ)如右下圖,從曲線C的焦點(diǎn)F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直,求入射光線的方程.

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(本小題滿分14分)

Monte-Carlo方法在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用。下面是利用Monte-Carlo方法來計(jì)算定積分。考慮定積分,這時(shí)等于由曲線軸,所圍成的區(qū)域M的面積,為求它的值,我們在M外作一個(gè)邊長為1正方形OABC。設(shè)想在正方形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn),若個(gè)點(diǎn)中有個(gè)點(diǎn)落入中,則的面積的估計(jì)值為,此即為定積分的估計(jì)值I。向正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),有個(gè)點(diǎn)落入?yún)^(qū)域M

(1)若=2099,計(jì)算I的值,并以實(shí)際值比較誤差是否在5%以內(nèi)

(2)求的數(shù)學(xué)期望

(3)用以上方法求定積分,求I與實(shí)際值之差在區(qū)間(—0.01,0.01)的概率

附表:

n

1899

1900

1901

2099

2100

2101

P(n)

0.0058

0.0062

0.0067

0.9933

0.9938

0.9942

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