(北京)平面的斜線交于點(diǎn)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交

于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 一條直線 　一個(gè)圓 一個(gè)橢圓 　雙曲線的一支

(北京文)設(shè)、、、是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是

若與共面，則與共面

若與是異面直線，則與是異面直線

若，，則

若，，則

(重慶)對(duì)于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使與

平行　　　 　相交　　　 垂直　　　 互為異面直線

(全國(guó)Ⅰ)在正方形中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于，交于，則

①　　 四邊形一定是平行四邊形;

②　　 四邊形有可能是正方形

③　　 四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形

④　　 四邊形有可能垂直于平面

以上結(jié)論正確的為　　　　　　 　　　　(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))

(浙江)若是兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則

過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直

過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交 過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面

(天津)如圖，平面，，

且，則異面直線與所成角

的余弦值為　　　　

(江西文)如圖，已知三棱錐的側(cè)棱

、、兩兩垂直，且，，

是的中點(diǎn)．略；求異面直線與所成的角；

略．

問題1．(上海)若空間中有四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”

是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面上”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

充分非必要條件；必要非充分條件；充要條件；非充分非必要條件．

(全國(guó)Ⅲ)不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有

個(gè)　　　　　　 個(gè)　　　　　　 個(gè)　　　　　 個(gè)

(全國(guó)Ⅱ)正方體中，

、、分別是、、的中點(diǎn)．

那么，正方體的過、、的截面圖形是　

　三角形 四邊形五邊形六邊形

如圖，，、，，

且，直線，過、、三點(diǎn)

的平面記作，則與的交線必通過

點(diǎn)；　　　　　　　 點(diǎn)；

點(diǎn)但不通過點(diǎn)； 點(diǎn)和點(diǎn)

(江蘇)如圖，已知是棱長(zhǎng)

為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，

且.求證：四點(diǎn)共面；(分)

略；略.

問題2．(全國(guó)Ⅱ)如圖，在直三棱柱中，，、分別

為、的中點(diǎn)．證明：為異面直線與的公垂線；略.

( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性)

證明：方法(用傳統(tǒng)方法)：

方法(用向量法)：

問題3．如圖，在正方體中，

棱長(zhǎng)，求證：與是異面直線；

求于間的距離.

問題4．(上海春)在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、 的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性).

解法1(傳統(tǒng)方法)：

解法2(向量法)：

(三)課后作業(yè)：

如圖，在正方體中，、分別

是、的中點(diǎn)，求證：

①、、、四點(diǎn)共面；

②、、三點(diǎn)共線.

角與的兩邊分別平行，當(dāng)時(shí)， 　　　　　

已知的直觀圖是邊長(zhǎng)為的等邊，那么的面積為

如圖，在空間四邊形中，已知，

，且，對(duì)角線，

，求與所成的角.

公理：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

作用：①作為判斷和證明是否在平面內(nèi)的依據(jù)；②證明點(diǎn)在某平面內(nèi)的依據(jù)；③檢驗(yàn)?zāi)趁媸欠衿矫娴囊罁?jù).

公理：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線.

作用：①作為判斷和證明兩平面是否相交；②證明點(diǎn)在某直線上；③證明三點(diǎn)共線；

④證明三線共點(diǎn).

公理： 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論:經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.

推論:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.

推論:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.

　 作用：公理及其推論是空間里確定平面的依據(jù)，也是證明兩個(gè)平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法.

證明三點(diǎn)均在兩個(gè)平面的交線上，可以推證三點(diǎn)共線

證明直線共面通常的方法：先由其中兩條直線確定一個(gè)平面，再證明其余的直線都在此平面內(nèi)(納入法)；分別過某些點(diǎn)作多個(gè)平面，然后證明這些平面重合(重合法)；

也可利用共面向量定理來證明.

公理是證明直線共點(diǎn)的依據(jù)，應(yīng)該這樣理解：如果、是交點(diǎn)，那么是交線；

如果兩個(gè)不同平面有三個(gè)或者更多的交點(diǎn)，那么它們共面；

如果，點(diǎn)是a、b的一個(gè)公共點(diǎn)，那么

求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作(找)-證-算”.注意，異面直線所成角的范圍是；求異面直線所成角的方法：①平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對(duì)邊、梯形的平行對(duì)邊、三角形的中位線進(jìn)行平移.

②向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,

則兩異面直線所成的角；③補(bǔ)體法

兩條異面直線的公垂線：①定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線；②證明：異面直線公垂線的證明常轉(zhuǎn)化為證明公垂線與兩條異面直線分別垂直.

兩條異面直線的距離：①定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度.

②計(jì)算方法：公垂線法；轉(zhuǎn)化成線面距離(點(diǎn)面距離)；轉(zhuǎn)化成面面距離.

(遼寧)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為.若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是　　　　　

(湖北)雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，則等于　　　　　 　　　　　　 　　 　　

(天津文)設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為

(四川)設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；

設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的斜率的取值范圍.

(上海)點(diǎn)、分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且位于軸上方，.求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一點(diǎn)，到直線的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值.

設(shè)集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

正方體的面中有一動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是　　 一線段　　 拋物線的一部分 　橢圓　　 橢圓的一部分

要建造一座跨度為米，拱高為米的拋物線拱橋，建橋時(shí)，每隔米用一根柱支撐，兩邊的柱長(zhǎng)應(yīng)為　　　　　　　　　

(南京模擬)已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的

右焦點(diǎn)，且兩條曲線的公共點(diǎn)的連線過，則該橢圓的離心率為

若橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、且是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則的面積是　　　 　　　　　　　　　　

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為　 　

(屆高三攸縣一中)已知橢圓與雙曲線有相同的準(zhǔn)線，

則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為　 橢圓的一部分　　　　　　 雙曲線的一部分

拋物線的一部分　　　　　　　　　　　　　 直線的一部分

已知圓過雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是　　　　　　　　　　

求與圓：和圓：都外切的圓的圓心的軌跡方程為　　　　　　　　　　

對(duì)于任意，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，以表示該兩點(diǎn)的距離，則的值是

問題1．(四川)已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于、兩點(diǎn)。如果且曲線上存在點(diǎn)，使求的值和的面積.

問題2．(湖南)已知橢圓：,拋物線：,

且、的公共弦過橢圓的右焦點(diǎn)

當(dāng)軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線上；

是否存在、的值，使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線上？若存在，

求出符合條件的、的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題3．(寧夏)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和．求的取值范圍；

設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

問題4．(重慶)　 已知一列橢圓：，.….

若橢圓上有一點(diǎn)，使到右準(zhǔn)線的距離是與

的等差中項(xiàng)，其中、分別是的左、右焦點(diǎn)。

試證：≤(≥)；

取，并用表示的面積，

試證：且 (≥)

問題5．某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓柱形的坑，挖出的土只能沿道路、運(yùn)到處(如圖)，已知，，，試說明怎樣運(yùn)土最省工

圓錐曲線綜合問題包含內(nèi)部綜合、圓錐曲線與其它章節(jié)的綜合以及運(yùn)用圓錐曲線解決實(shí)際問題前者用到圓錐曲線重要的思想與方法，是高考的熱點(diǎn)；圓錐曲線與其它章節(jié)的綜合要注意各部分知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，后者要通過建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.

對(duì)于較為綜合的解析幾何問題，必須對(duì)題目的內(nèi)涵進(jìn)行深刻挖掘的基礎(chǔ)上，應(yīng)用整體思想，構(gòu)建轉(zhuǎn)化的“框架”，然后，綜合利用代數(shù)手段解題.

圓錐曲線的定義是解決綜合題的基礎(chǔ)，定義在本質(zhì)上揭示了平面上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)(或定直線)的距離滿足某種特殊關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合思想去理解圓錐曲線中的參數(shù)(等)的幾何意義以及這些參數(shù)間的相互關(guān)系，進(jìn)而通過它們之間組成題設(shè)條件的轉(zhuǎn)化.

綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識(shí).

解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.

(重慶)已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn).(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)若直線：與橢圓及雙曲線都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)和滿足(其中為原點(diǎn))，求的取值范圍.

(江西)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓

和上的點(diǎn)，則的最大值為　　 　　　

(重慶)如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線的方程為：.

求橢圓的方程；在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使

證明：為定值，并求此定值.

(全國(guó)Ⅰ)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線。

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.

(全國(guó)Ⅱ)、、、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．

(浙江)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)、在雙曲線的右支上，點(diǎn)到直線的距離為， 若直線的斜率為，且, 求實(shí)數(shù)的取值范圍； 當(dāng)時(shí)，的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，求此雙曲線的方程.

(重慶文)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn).

求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程；

若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明:為定值，并求此定值.

(山東)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

已知橢圓()的右焦點(diǎn)為，過作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若有，求橢圓離心率的取值范圍.

過拋物線的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦、，

求證：交拋物線的對(duì)稱軸上一定點(diǎn).

如圖，在雙曲線的上支上有三點(diǎn)，

，，它們與點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.

求的值；證明：線段的垂直平分線經(jīng)過

某一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)坐標(biāo).

在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果；另一種是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算，即將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式，證明該式是恒定的.如果試題以客觀題形式出現(xiàn)，特殊方法往往比較奏效.

對(duì)滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，設(shè)該直線(曲線)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線(或曲線)上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程(組)，求出相應(yīng)的直線(或曲線)，然后再利用直線(或曲線)過定點(diǎn)的知識(shí)加以解決.

解析幾何的最值和范圍問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值和最小值.

(二)典例分析：

問題1． (廣東)在平面直角坐標(biāo)系中，

拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動(dòng)點(diǎn)、滿足．

(Ⅰ)求得重心的軌跡方程；

(Ⅱ)的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；

若不存在，請(qǐng)說明理由．

問題2．已知橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)及定點(diǎn) ，為橢圓的左焦點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列.求證：線段的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；

設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，求的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).

問題3．(全國(guó)Ⅱ)已知拋物線的焦點(diǎn)為，、是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且()．過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為．

(Ⅰ)證明為定值；

(Ⅱ)設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值．

問題4．直線：和雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)和線段的中點(diǎn)，求在軸上的截距的取值范圍.