18.證明：(法一)要證原不等式成立，只須證：

即只須證：

由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立。

(法二)由對稱性，不妨設(shè)：,則，

所以：(順序和)(亂序和)

(順序和)(亂序和)

將以上兩式相加即得：.

17. 提示：這是一個與整除有關(guān)的命題，它涉及全體正整數(shù)，若用數(shù)學歸納法證明，第一步應證時命題成立；第二步要明確目標，即在假設(shè)能夠被6整除的前提下，證明也能被6整除.

證明：1)當時，顯然能夠被6整除，命題成立.

　　　 2)假設(shè)當時，命題成立，即能夠被6整除.

　　　 當時，

.

　　　 由假設(shè)知能夠被6整除，而是偶數(shù)，故能夠被6整除，從而即能夠被6整除.因此，當時命題成立.

　　　 由1)2)知，命題對一切正整數(shù)成立，即能夠被6整除;

16.提示:

15.提示:

14.提示: .

13.提示:

12. 提示：利用不等式解決極值問題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件.這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為的形式就能利用柯西不等式求其最大值.

解：函數(shù)的定義域為，且.

當且僅當時，等號成立，即時函數(shù)取最大值.

11. 提示：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰.另外，如果從正面證明，需要對某一個分式小于2或兩個分式都小于2等進行分類討論，而從反面證明，則只要證明兩個分式都不小于2是不可能的即可.于是考慮采用反證法.

證明：假設(shè)，都不小于2，即，且.

因為，，所以，且.把這兩個不等式相加，得，

從而.這與已知條件矛盾.因此，，都不小于2是不可能的，即原命題成立.

10．提示：觀察要證明的結(jié)論，左邊是個因式的乘積，右邊是2的次方，再結(jié)合，發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為，，…，的乘積，問題就能得到解決.

證明：因為，所以，即.

同理，，…….因為，，…，，由不等式的性質(zhì)，

得.

因為時，取等號，所以原式在時取等號.

9.分析：觀察欲證不等式的特點，左邊3項每一項都是兩個數(shù)的平方之和與另一個數(shù)之積，右邊是三個數(shù)的積的6倍.這種結(jié)構(gòu)特點啟發(fā)我們采用如下方法.

證明：因為≥，，所以≥.　　　　　　 ①

因為≥，，所以≥.　　　　　　　　　 ②

因為≥，，所以≥.　　　　　　　　　 ③

由于，，不全相等，所以上述①②③式中至少有一個不取等號，把它們相加得.