3.(天津卷9)函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是

　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

2．(全國卷22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

1．(全國卷10)函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)(　 )

　　 A ()　　　　 B (π,2π)　　　　 C ()　　　　 D (2π,3π)

例1．　 在處可導(dǎo)，則　　　 　　　

思路：　 在處可導(dǎo)，必連續(xù)　　 　　　　∴

　　 　　∴ 　　

例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：

　(1)；　 (2)

　分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.

　解：(1)

　(2)

說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.

例3．觀察，，，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù).

解：若為偶函數(shù)　　 　　令

∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

　　 另證：

∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

例4．(1)求曲線在點(1，1)處的切線方程；

　(2)運動曲線方程為，求t=3時的速度.

　分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù).

　解：(1)，

　，即曲線在點(1，1)處的切線斜率k=0

　因此曲線在(1，1)處的切線方程為y=1

　(2)

　.

例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間

(1)　　　 (2)

(3) 　　　　　　　　(4)

解：(1) 　時

　　 ∴ ，

(2)　 ∴ ，

(3)　

∴ 　　　

∴ ，　 ，

(4)　 定義域為

例6．求證下列不等式

(1)

(2)

(3)

證：(1) 　

∴ 為上　　 ∴ 　　恒成立

∴ 　　

∴ 在上　 ∴ 　恒成立

(2)原式　 令 　　　

∴ 　　∴ 　　

　 　　∴

(3)令　

　 　　∴

∴

例7．利用導(dǎo)數(shù)求和：

　(1)；

　(2)。

　分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷.

　解：(1)當(dāng)x=1時，

　；

　當(dāng)x≠1時，

　∵，

　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得

　即

　(2)∵，

　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。

　令x=1得

　，

　即。

例8．設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力.

解：.

當(dāng)時　 .

(i)當(dāng)時，對所有，有.

即，此時在內(nèi)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)時，對，有，

即，此時在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，

函數(shù)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞增

(iii)當(dāng)時，令，即.

解得.

因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間

內(nèi)也單調(diào)遞增.

令，解得.

因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

　例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為和.

　(1)求A、B兩點的坐標(biāo)； (2)求直線與的夾角.

　分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵.

　解　 (1)由方程組

　　　 解得 A(-2，0)，B(3，5)

　(2)由y′=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，

　　　　 所以

　說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號.

例10．(2001年天津卷)設(shè)，是上的偶函數(shù).

(I)求的值；　 (II)證明在上是增函數(shù).

解：(I)依題意，對一切有，即，

∴對一切成立，

由此得到，，　　 又∵，∴.

(II)證明：由，得，

當(dāng)時，有，此時�！�在上是增函數(shù).

4．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進行：

(1)適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；(2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo))；(3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù).

也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)，中間變量對自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解--求導(dǎo)--回代.熟練以后，可以省略中間過程.若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量.

3．要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點：

(1)熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

(2)對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo).

2．利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容.課本中先通過實例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對法則進行了證明.

1．導(dǎo)數(shù)概念的理解．

3．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意.

2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便.