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例1．在處可導(dǎo).則思路: 在處可導(dǎo).必連續(xù) ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo).且f′(a)=b.求下列極限: (1), (2) 分析:在導(dǎo)數(shù)定義中.增量△x的形式是多種多樣.但不論△x選擇哪種形式.△y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式.利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件.可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式. 解:(1) (2) 說(shuō)明:只有深刻理解概念的本質(zhì).才能靈活應(yīng)用概念解題.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是等價(jià)變形.使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式. 例3．觀察...是否可判斷.可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù).可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù). 解:若為偶函數(shù) 令 ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證: ∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 例4．(1)求曲線在點(diǎn)(1.1)處的切線方程, (2)運(yùn)動(dòng)曲線方程為.求t=3時(shí)的速度. 分析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知.函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率.瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù). 解:(1). .即曲線在點(diǎn)(1.1)處的切線斜率k=0 因此曲線在(1.1)處的切線方程為y=1 (2) . 例5．求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間 (1) (2) (3) (4) 解:(1) 時(shí) ∴ . (2) ∴ . (3) ∴ ∴ . . (4) 定義域?yàn)? 例6．求證下列不等式 (1) (2) (3) 證:(1) ∴ 為上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 (2)原式令 ∴ ∴ ∴ (3)令 ∴ ∴ 例7．利用導(dǎo)數(shù)求和: (1), (2). 分析:這兩個(gè)問(wèn)題可分別通過(guò)錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決.轉(zhuǎn)換思維角度.由求導(dǎo)公式.可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷. 解:(1)當(dāng)x=1時(shí). , 當(dāng)x≠1時(shí). ∵. 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù).求導(dǎo)得即 (2)∵. 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù).求導(dǎo)得. 令x=1得 . 即. 例8．設(shè).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 分析:本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力. 解:. 當(dāng)時(shí) . (i)當(dāng)時(shí).對(duì)所有.有. 即.此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增. (ii)當(dāng)時(shí).對(duì).有. 即.此時(shí)在(0.1)內(nèi)單調(diào)遞增.又知函數(shù)在x=1處連續(xù).因此. 函數(shù)在(0.+)內(nèi)單調(diào)遞增 (iii)當(dāng)時(shí).令.即. 解得. 因此.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增. 令.解得. 因此.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A.B兩點(diǎn).過(guò)A.B兩點(diǎn)的切線分別為和. (1)求A.B兩點(diǎn)的坐標(biāo), (2)求直線與的夾角. 分析:理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵. 解 (1)由方程組解得 A (2)由y′=2x.則..設(shè)兩直線的夾角為θ.根據(jù)兩直線的夾角公式. 所以說(shuō)明:本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線.就是該點(diǎn)處拋物線的切線.注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào). 例10．設(shè).是上的偶函數(shù). (I)求的值, (II)證明在上是增函數(shù). 解:(I)依題意.對(duì)一切有.即. ∴對(duì)一切成立. 由此得到.. 又∵.∴. (II)證明:由.得. 當(dāng)時(shí).有.此時(shí).∴在上是增函數(shù). 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于