5．(福建省莆田四中2008屆5月份第二次模擬考試，理科，21)

已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為 ，點(diǎn)、滿足

||，()，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線交線段于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

(1)求軌跡的方程；

(2)設(shè)直線的：與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、，對(duì)點(diǎn)和向量，求取最大值時(shí)直線的方程.

[解析](1)由橢圓的定義易得點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)后轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而由不等式放縮得到取最大值時(shí)k的值，即得到直線的方程.

[答案](1)∵＝(+)，∴N為AF的中點(diǎn)

∴||＝||∴||+||＝||+||＞||

∴點(diǎn)M的軌跡C是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓

∵長(zhǎng)半軸a＝，半焦距c＝

∴b2＝a2－c2＝1

∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為+y2＝1

(2)將y＝k(x+1)(k≠0)代入橢圓C：+y2＝1中，整理得

　(1+3k2)x2+6k2x+3k2－3＝0

設(shè)R(x3，y3)、S(x4，y4)

則x3+x4＝－，x3x4＝

所以y3y4＝k2(x3+1)(x4+1)＝k2(x3+x4+x3x4+1)＝－

∴＝(x3－1)(x4－1)+y3y4－3－9k2

＝x3x4－(x3+x4)+1+y3y4－3－9k2＝++1－－3－9k2

＝－3－9k2＝－[+3(1+3k2)]≤－2×4＝－

當(dāng)且僅當(dāng)＝3(1+3k2)，即k2＝∈(0，1)時(shí)等號(hào)成立

此時(shí)，直線l的方程為y＝±(x+1)

4．(廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008屆高三第三次模擬考試，理科，20)

已知拋物線x2=－y，直線L：(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m∈R且m≠－1)與拋物線交于A，B兩

點(diǎn).

(1) 當(dāng)m=0時(shí)，試用x,y的不等式組表示由直線L和拋物線圍成的封閉圖形所在平面區(qū)域(包邊界) ,并求該區(qū)域的面積.

(2)求證：對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)m，拋物線的頂點(diǎn)都在以線段AB為直徑的圓C上；并求圓

C的圓心的軌跡方程.

(3)將拋物線x2=－y的圖像按向量=(4，16)移動(dòng)后得到函數(shù)y=f(x)的圖像，若

問是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.

[解析](1)所要表示的平面區(qū)域包括邊界，要注意不等式取等號(hào)，由定積分即可求出相應(yīng)

的面積，計(jì)算時(shí)可以整體代入；

(2)證明拋物線的頂點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓C上，即證明，圓C的圓心的

軌跡可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式利用“代入法”求得；

(3)構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image856.gif">，所以y=f(x)的圖

象與y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)問題就可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)正零點(diǎn)的

問題，要對(duì)的單調(diào)性進(jìn)行討論，從而求出使得由兩個(gè)正零點(diǎn)的的取值范圍.

[答案](3)依題意，f(x)=-x2+8x,令

因?yàn)閤＞0，要使函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)

的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，是減函數(shù)

當(dāng)x∈(3，+∞)時(shí)，是增函數(shù)

當(dāng)x=1或x=3時(shí)，

∴

又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，

當(dāng)

所以要使有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須

即

∴m=7或

∴當(dāng)m=7或時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn).

3．(寧夏銀川一中2008屆高三年級(jí)第五次月考測(cè)試，理科，21)

已知直線相交于A、B兩點(diǎn).

(1)若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)；

(2)若向量互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)橢圓的離心率

時(shí)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

[解析](1)由已知條件易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由弦長(zhǎng)公式即可求得線段AB的長(zhǎng)；(2)由向量互相垂直可以設(shè)從而轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，求出的關(guān)系，進(jìn)而用離心率表示，再由，求出的范圍即求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

[答案](1)，

，

聯(lián)立

則

，

　 (2)設(shè)，

由，　

，

，

由此得

故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為

2．(山東省煙臺(tái)市2008屆高三5月適應(yīng)性練習(xí)，理科，21)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓A上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B(1，0)，點(diǎn)M

　 是BN中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AN上，且

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)試判斷以PB為直徑的圓與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

[解析](1)由垂直平分線的性質(zhì)和橢圓定義易求；(2)設(shè)出，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得以PB為直徑的圓的圓心，進(jìn)而求出半徑又圓的圓心為(0，0)，半徑比較圓心距與的大小關(guān)系即可.

[答案](1)由點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，又

可知PM垂直平分BN，所以

所以|PA|+|PB|=4

由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓.

設(shè)橢圓方程為

由

可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡方程為

(2)解：設(shè)點(diǎn)

即以PB為直徑的圓的圓心為，

半徑為

又圓的圓心為(0，0)，半徑

又

故即兩圓相切.

1．(山東省濰坊市2008屆高三5月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，理科，21)

已知實(shí)數(shù)m>1，定點(diǎn)A(－m，0)，B(m，0)，S為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)S與A，B兩點(diǎn)連線斜率之積

為

(1)求動(dòng)點(diǎn)S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；

(2)當(dāng)時(shí)，問t取何值時(shí)，直線與曲線C有且只有一個(gè)交

點(diǎn)？

(3)在(2)的條件下，證明：直線l上橫坐標(biāo)小于2的點(diǎn)P到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率.

[解析](1)由題易得動(dòng)點(diǎn)S的軌跡C為橢圓，注意要除去x軸上的兩項(xiàng)點(diǎn)；(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，由即可求得值，注意；(3)由兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出兩距離之比，轉(zhuǎn)化成求關(guān)于的函數(shù)的最小值問題，利用導(dǎo)函數(shù)即可解之.

[答案](1)設(shè).

　　　 由題意得

　　　 ∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩項(xiàng)點(diǎn))，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2.

　 (2)當(dāng)m=時(shí)，曲線C的方程為

　　　 由

　　　 令

　　　 此時(shí)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

　 (3)直線l方程為2x－y+3=0.

　　　 設(shè)點(diǎn)表示P到點(diǎn)(1，0)的距離，d2表示P到直線x=2的距離，

　　　 則

　　　 令

　　　 則

　　　 令

　　　 ∴的最小值等于橢圓的離心率.

7．(2008年廣東卷，文科，20)

設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

(2)設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo))．

[解析](1)由已知可求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出拋物線在點(diǎn)的切線方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓方程也可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出，得出橢圓方程和拋物線方程；(2)以為直角和以為直角的直角三角形顯然各一個(gè)，以為直角的直角三角形是否存在可以轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的方程是否有解的問題，從而可以求出滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù).

[答案](1)由得，

當(dāng)得，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

過(guò)點(diǎn)G的切線方程為即，

令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；

(2)過(guò)作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，

同理 以為直角的只有一個(gè)。

若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。

6．(2008年山東卷，文科，22)

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，

曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．

是上異于橢圓中心的點(diǎn)．

(1)若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

求點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值．

[解析](Ⅰ)由三角形面積公式和點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于a，b的方程組， 曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，顯然為焦點(diǎn)在x軸的橢圓；

(Ⅱ)(1)設(shè)出的方程，，，聯(lián)立直線與橢圓得到方程組后，由可得的軌跡方程，注意或不存在時(shí)所得方程仍然成立；(2)由直線的方程：和橢圓方程聯(lián)立后表示出由不等式放縮即可求出最小值.

[答案](Ⅰ)由題意得又，解得，．

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

(Ⅱ)(1)假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為

，．

解方程組得，，

所以．

設(shè)，由題意知，

所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image002.gif">是的垂直平分線，所以直線的方程為，即，

因此，

又，所以，故．

又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立．

綜上所述，的軌跡方程為．

(2)當(dāng)存在且時(shí)，由(1)得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)面積的最小值是．

當(dāng)，．

當(dāng)不存在時(shí)，．

綜上所述，的面積的最小值為．

解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image606.gif">，

又，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)面積的最小值是．

當(dāng)，．

當(dāng)不存在時(shí)，．

綜上所述，的面積的最小值為．

5. (2008年遼寧卷，文科，21)

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為．

(Ⅰ)寫出C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)？此時(shí)的值是多少？

[解析](Ⅰ)由橢圓的定義易得，(Ⅱ)設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)后由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求出，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出k值，最后由弦長(zhǎng)公式可以求出的值.

[答案](Ⅰ)設(shè)P(x，y)，由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，

長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．　　　 4分

(Ⅱ)設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得，

故． 6分

，即．而，

于是．

所以時(shí)，，故．　　　 8分

當(dāng)時(shí)，，．

，

而，

所以．

4．(2008年湖南卷，文科，19)

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是，且兩條準(zhǔn)線間的距離為.

(I)求橢圓的方程；

(II)若存在過(guò)點(diǎn)A(1，0)的直線，使點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，

求的取值范圍.

[解析](I)橢圓方程由a，b，c的關(guān)系易得，(II)設(shè)出直線的方程，求出點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，代入橢圓方程解關(guān)于的不等式組即得的取值范圍.

[答案](I)設(shè)橢圓的方程為

由條件知且所以

故橢圓的方程是

(II)依題意, 直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是

　設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則

　　 解得

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以即

設(shè)則

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image413.gif">所以于是,

當(dāng)且僅當(dāng)

上述方程存在正實(shí)根,即直線存在.

解得所以

即的取值范圍是

3．(2007年山東卷，理科，21)

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

[解析](Ⅰ)由已知易求出a，c的值，即得橢圓方程，(Ⅱ)由待定系數(shù)法設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程后由可以得到關(guān)于k和m的方程，求出滿足的k和m的關(guān)系式后即可得到過(guò)定點(diǎn)的直線方程.

[答案](I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

，

　(II)設(shè)，由得

，

，.

以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，

，，

，

，解得

，且滿足.

當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，，直線過(guò)定點(diǎn)

綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為