1．不等關系

通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式(組)的實際背景；

3．幾個重要不等式

(1)

(2)(當僅當a=b時取等號)

(3)如果a,b都是正數(shù)，那么 (當僅當a=b時取等號)

最值定理：若則：

1如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最�。�2如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大；

　　 注意：1前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應根據(jù)題目創(chuàng)設情境；還要注意選擇恰當?shù)墓�式�?“和定 積最大，積定 和最小”，可用來求最值；3均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。

(當僅當a=b=c時取等號)；

(當僅當a=b時取等號)。

2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法　 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。

證明不等式時，要依據(jù)題設、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點。

1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證；

(2)綜合法是由因?qū)Ч�，而分析法是�?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野。

3．常用的證明不等式的方法

(1)比較法

比較法證明不等式的一般步驟：作差-變形-判斷-結(jié)論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數(shù)，或者變形為一個常數(shù)與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。

(2)綜合法

利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)時要注意它們各自成立的條件。

綜合法證明不等式的邏輯關系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結(jié)論。

(3)分析法

證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

(1)“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”；

(2)綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程。

2．基本不等式

定理1：如果，那么(當且僅當時取“”)。

說明：(1)指出定理適用范圍：；(2)強調(diào)取“”的條件。

定理2：如果是正數(shù)，那么(當且僅當時取“=”)

說明：(1)這個定理適用的范圍：；(2)我們稱的算術平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)。即：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

1．不等式的性質(zhì)

比較兩實數(shù)大小的方法--求差比較法

；

；

。

定理1：若，則；若，則．即。

說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。

定理2：若，且，則。

說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。

定理3：若，則。

說明：(1)不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向；

(2)定理3的證明相當于比較與的大小，采用的是求差比較法；

(3)定理3的逆命題也成立；

(4)不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。

定理3推論：若。

說明：(1)推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；(2)這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；(3)同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式。

定理4．如果且，那么；如果且，那么。

推論1：如果且，那么。

說明：(1)不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變；(2)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；(3)推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。

推論2：如果， 那么 。

定理5：如果，那么 。

2．利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關最值問題是考察的重點和熱點，應加強訓練。

不等式歷來是高考的重點內(nèi)容。對于本將來講，考察有關不等式性質(zhì)的基礎知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內(nèi)容在復習時，要在思想方法上下功夫。

預測2007年的高考命題趨勢：

1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來綜合考察不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主；