題型1：柱體的體積和表面積

例1．一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm²，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng).

解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm

依題意得：　　　

由(2)²得：x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=36(3)

2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

名稱(chēng)	圓柱	圓錐	圓臺(tái)	球
S側(cè)	2πrl	πrl	π(r1+r2)l
S全	2πr(l+r)	πr(l+r)	π(r1+r2)l+π(r21+r22)	4πR2
V	πr2h(即πr2l)	πr2h	πh(r21+r1r2+r22)	πR3

表中l(wèi)、h分別表示母線(xiàn)、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r₁、r₂分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，R表示半徑。

1．多面體的面積和體積公式

名稱(chēng)	側(cè)面積(S側(cè))	全面積(S全)	體 積(V)
棱 柱	棱柱	直截面周長(zhǎng)×l	S側(cè)+2S底	S底·h=S直截面·h
直棱柱	ch	S底·h
棱 錐	棱錐	各側(cè)面積之和	S側(cè)+S底	S底·h
正棱錐	ch′
棱 臺(tái)	棱臺(tái)	各側(cè)面面積之和	S側(cè)+S上底+S下底	h(S上底+S下底+)
正棱臺(tái)	(c+c′)h′

表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。

近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題。即使考查空間線(xiàn)面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。

由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測(cè)008年高考有以下特色：

(1)用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；

(2)考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；

了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)。

4．畫(huà)水平放置的多邊形的直觀(guān)圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀(guān)圖的畫(huà)法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法。強(qiáng)調(diào)斜二測(cè)畫(huà)法的步驟。

3． 　 三視圖畫(huà)法規(guī)則

高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊

長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等

2.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念和主要性質(zhì)

名稱(chēng)	棱柱	直棱柱	正棱柱
圖　 形
定　 義	有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)都互相平行的多面體	側(cè)棱垂直于底面的棱柱	底面是正多邊形的直棱柱
側(cè)棱	平行且相等	平行且相等	平行且相等
側(cè)面的形狀	平行四邊形	矩形	全等的矩形
對(duì)角面的形狀	平行四邊形	矩形	矩形
平行于底面的截面的形狀	與底面全等的多邊形	與底面全等的多邊形	與底面全等的正多邊形

名稱(chēng)	棱錐	正棱錐	棱臺(tái)	正棱臺(tái)
圖形
定義	有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體	底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分	用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分	由正棱錐截得的棱臺(tái)
側(cè)棱	相交于一點(diǎn)但不一定相等	相交于一點(diǎn)且相等	延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)	相等且延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)
側(cè)面的形狀	三角形	全等的等腰三角形	梯形	全等的等腰梯形
對(duì)角面的形狀	三角形	等腰三角形	梯形	等腰梯形
平行于底的截面形狀	與底面相似的多邊形	與底面相似的正多邊形	與底面相似的多邊形	與底面相似的正多邊形
其他性質(zhì)		高過(guò)底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等		兩底中心連線(xiàn)即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等

幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)

1.幾種常凸多面體間的關(guān)系

題型1：空間幾何體的構(gòu)造

例1．(1)(06北京理4)平面的斜線(xiàn) AB 交于點(diǎn) B，過(guò)定點(diǎn) A 的動(dòng)直線(xiàn)與 AB 垂直，且交于點(diǎn) C，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是(　　 )

A．一條直線(xiàn)　　　 B．一個(gè)圓　　　 C．一個(gè)橢圓　　　 D．雙曲線(xiàn)的一支

(2)(04天津文 8)如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn) C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且那么，動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是(　　 )

A．一條線(xiàn)段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)　　 B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

C．一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)　　 D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

(3)正方體ABCD_A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足PM=2，P到直線(xiàn)A₁D₁的距離為，則點(diǎn)P的軌跡是[　　 ]

A.圓　　　　　　　 　 　 B.雙曲線(xiàn)　　　　　　　 　 　 C.兩個(gè)點(diǎn)　　　 　　　 　　 D.直線(xiàn)

解析：(1)設(shè)與¢是其中的兩條任意的直線(xiàn)，則這兩條直線(xiàn)確定一個(gè)平面，且斜線(xiàn)垂直這個(gè)平面，由過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直可知過(guò)定點(diǎn)與垂直所有直線(xiàn)都在這個(gè)平面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)C都在這個(gè)平面與平面的交線(xiàn)上，故選A。

(2)答案為B。

(3)解析： 點(diǎn)P到A₁D₁的距離為，則點(diǎn)P到AD的距離為1，滿(mǎn)足此條件的P的軌跡是到直線(xiàn)AD的距離為1的兩條平行直線(xiàn)，

又，滿(mǎn)足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個(gè)交點(diǎn).

故點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)。選項(xiàng)為C。

點(diǎn)評(píng)：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過(guò)程，考察了空間想象能力。

例2．(06江蘇9)兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有(　 )

A．1個(gè)　　　B．2個(gè)　　　　　 C．3個(gè)　　　D．無(wú)窮多個(gè)

解析：由于兩個(gè)正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對(duì)稱(chēng)性知正四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會(huì)將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化。

題型2：空間幾何體的定義

例3．(06江西文9)如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱(chēng)它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱(chēng)為它的腰，以下4個(gè)命題中，假命題是(　B　)

A．等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等　　　　　　　

B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)

C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓

D．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上

解析：因?yàn)椤暗妊�四棱錐”的四條側(cè)棱都相等，所以它的頂點(diǎn)在底面的射影到底面的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故A，C正確，且在它的高上必能找到一點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故D正確，B不正確，如底面是一個(gè)等腰梯形時(shí)結(jié)論就不成立。故選B

點(diǎn)評(píng)：抓住本質(zhì)的東西來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)于信息要進(jìn)行加工再利用。

例4．(2002北京理，10)設(shè)命題甲：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁與對(duì)角面BB₁D₁D垂直”；命題乙：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方體”.那么，甲是乙的(　　 )

A.充分必要條件　

B.充分非必要條件

C.必要非充分條件　

D.既非充分又非必要條件C

解析：若命題甲成立，命題乙不一定成立，如底面為菱形時(shí)。若命題乙成立，命題甲一定成立。答案為C。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于空間幾何體的定義要有深刻的認(rèn)識(shí)，掌握它們并能判斷它們的性質(zhì)。

題型3：空間幾何體中的想象能力

例5．(2002上海春，10)圖9-12表示一個(gè)正方體表面的一種展開(kāi)圖，圖中的四條線(xiàn)段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有　　　 對(duì).

解析：相互異面的線(xiàn)段有AB與CD，EF與GH，AB與GH3對(duì).

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是將平面圖形恢復(fù)成空間圖形，較強(qiáng)的考察了空間想象能力。

例6．(2003京春文11，理8)如圖9-1，在正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn).將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為(　　 )

A．90°　　　　 B．60°

C．45°　 　　　　　　　　　　 D．0°

答案：B

解析：將三角形折成三棱錐如圖9-43所示.HG與IJ為一對(duì)異面直線(xiàn).過(guò)點(diǎn)D分別作HG與IJ的平行線(xiàn)，即DF與AD.所以∠ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°。

點(diǎn)評(píng)：在畫(huà)圖過(guò)程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫(huà)圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

題型4：斜二測(cè)畫(huà)法

例7．畫(huà)正五棱柱的直觀(guān)圖，使底面邊長(zhǎng)為3cm側(cè)棱長(zhǎng)為5cm。

解析：先作底面正五邊形的直觀(guān)圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得。

作法：

(1)畫(huà)軸：畫(huà)X′，Y′，Z′軸，使∠X′O′Y′=45°(或135°)，∠X′O′Z′=90°。

(2)畫(huà)底面：按X′軸，Y′軸畫(huà)正五邊形的直觀(guān)圖ABCDE。

(3)畫(huà)側(cè)棱：過(guò)A、B、C、D、E各點(diǎn)分別作Z′軸的平行線(xiàn)，并在這些平行線(xiàn)上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE�！�

(4)成圖：順次連結(jié)A′，B′，C′，D′，F(xiàn)′，加以整理，去掉輔助線(xiàn)，改被遮擋的部分為虛線(xiàn)。

點(diǎn)評(píng)：用此方法可以依次畫(huà)出棱錐、棱柱、棱臺(tái)等多面體的直觀(guān)圖。

例8．是正△ABC的斜二測(cè)畫(huà)法的水平放置圖形的直觀(guān)圖，若的面積為，那么△ABC的面積為_(kāi)______________。

解析：。

點(diǎn)評(píng)：該題屬于斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀(guān)圖元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

題型5：平行投影與中心投影

例9．(1)如圖，在正四面體A－BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能的序號(hào)是(　　 )

A．①③　　　 B．②③④　　　　 C．③④　　　　 D．②④

(2)(2000全國(guó)，16)如圖9-15(1)，E、F分別為正方體的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，則四邊形BFD₁E在該正方體的面上的射影可能是圖9-15(2)的　　　 (要求：把可能的圖的序號(hào)都填上).

解析：(1)正四面體各面的中點(diǎn)在四個(gè)面上的射影不可能落到正四面體的邊上，所以①②不正確，根據(jù)射影的性質(zhì)E、F、G、三點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影形狀如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示。答案：C；

(2)答案：②③；解析：∵面BFD₁E⊥面ADD₁A₁，所以四邊形BFD₁E在面ADD₁A₁上的射影是③，同理，在面BCC₁B₁上的射影也是③。過(guò)E、F分別作DD₁和CC₁的垂線(xiàn)，可得四邊形BFD₁E在面DCC₁D₁上的射影是②，同理在面ABB₁A₁，面ABCD和面A₁B₁C₁D₁上的射影也是②。

點(diǎn)評(píng)：考查知識(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向。

例10．(06 安徽理16)多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱(chēng)為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是： ①3；　　 ②4；　　 ③5；　　 ④6；　　 ⑤7

以上結(jié)論正確的為_(kāi)_______________________(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))

解析：如圖，B、D、A₁到平面的距離分別為1、2、4，則D、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D₁到平面的距離為6；B、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B₁到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A₁的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C₁到平面的距離為7；而P為C、C₁、B₁、D₁中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。

點(diǎn)評(píng)：該題將計(jì)算蘊(yùn)涵于射影知識(shí)中，屬于難得的綜合題目。

題型6：三視圖

例11．(1)畫(huà)出下列幾何體的三視圖

解析：這二個(gè)幾何體的三視圖如下

(2)如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前方，試畫(huà)出它的三視圖(單位：cm)

點(diǎn)評(píng)：畫(huà)三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫(huà)主視圖，其次畫(huà)俯視圖，最后畫(huà)左視圖。畫(huà)的時(shí)候把輪廓線(xiàn)要畫(huà)出來(lái)，被遮住的輪廓線(xiàn)要畫(huà)成虛線(xiàn)。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。

例12．某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀

解析：該幾何體為一個(gè)正四棱錐分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。

點(diǎn)評(píng)：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長(zhǎng)和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長(zhǎng)要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。