4．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此根據(jù)圖象的對(duì)稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。

3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；

2．對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映；

1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0；

題型一：判斷函數(shù)的奇偶性

例1．討論下述函數(shù)的奇偶性：

解：(1)函數(shù)定義域?yàn)镽，

　 ，

∴f(x)為偶函數(shù)；

(另解)先化簡(jiǎn)：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡(jiǎn)后再解決要容易得多。

(2)須要分兩段討論：

①設(shè)

②設(shè)

③當(dāng)x=0時(shí)f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；

由①、②、③知，對(duì)x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)；

(3)，∴函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，

∴f(x)=log₂1=0(x=±1) ，即f(x)的圖象由兩個(gè)點(diǎn) A(－1，0)與B(1，0)組成，這兩點(diǎn)既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

(4)∵x²≤a², ∴要分a >0與a <0兩類討論，

①當(dāng)a >0時(shí)，

　 ，∴當(dāng)a >0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)；

　 　既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時(shí)應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡(jiǎn)，一般應(yīng)考慮先化簡(jiǎn)，但化簡(jiǎn)必須是等價(jià)變換過程(要保證定義域不變)。

例2．(2002天津文.16)設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，+∞)內(nèi)有定義，下列函數(shù)：①y=－|f(x)|；②y=xf(x²)；③y=－f(－x)；④y=f(x)－f(－x)。

必為奇函數(shù)的有_____(要求填寫正確答案的序號(hào))

答案：②④；解析：y=(－x)f［(－x)²］=－xf(x²)=－y；y=f(－x)－f(x)=－y。

點(diǎn)評(píng)：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對(duì)學(xué)生邏輯思維能力有較高的要求。

題型二：奇偶性的應(yīng)用

例3．(2002上海春，4)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=log₃(1+x)，則f(－2)=____　 _。

答案：－1；解：因?yàn)?i>x≥0時(shí)，f(x)=log₃(1+x)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)=－f(x)，設(shè)x＜0，所以f(x)=－f(－x)=－f(1－x)，所以f(－2)=－log₃3=－1。

點(diǎn)評(píng)：該題考察函數(shù)奇偶性的應(yīng)用。解題思路是利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在對(duì)稱區(qū)域上函數(shù)的取值。

例4．已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時(shí)f(x)的表達(dá)式。

解：由條件可以看出，應(yīng)將區(qū)間[－4，0]分成兩段考慮：

①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，

∵f(x)為偶函數(shù)，

∴當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，f(x)= f(－x)=－2x－1,

②若x∈[－4，－2，

∴4+ x∈[0，2，

∵f(2+x)+ f(2－x)，

∴f(x)= f(4－x)，

∴f(x)= f(－x)= f[4－(－x)]= f(4+x)=2(x+4)－1=2x+7；

綜上，

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。

題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性

例5．(2001天津，19)設(shè)，是上的偶函數(shù)。

(1)求的值；(2)證明在上為增函數(shù)。

解：(1)依題意，對(duì)一切，有，即。

∴對(duì)一切成立，則，∴，

∵，∴。

(2)(定義法)設(shè)，則

，

由，得，，

∴，

即，∴在上為增函數(shù)。

(導(dǎo)數(shù)法)∵，

∴

∴在上為增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡(jiǎn)潔。

例6．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對(duì)x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。

解：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。

在R上任取x₁、x₂，設(shè)x₁<x₂，∴f(x₂)= f(x₁)，

∵f(x)是R上的增函數(shù)，且f(10)=1，

∴當(dāng)x<10時(shí)0< f(x)<1, 而當(dāng)x>10時(shí)f(x)>1;

①　　 若x₁<x₂<5，則0<f(x₁)<f(x₂)<1,　

②　　 ∴0< f(x₁)f(x₂)<1,

∴<0,

∴F (x₂)< F(x₁)；

②若x₂ >x₁>5，則f(x₂)>f(x₁)>1 ,

∴f(x₁)f(x₂)>1,

∴>0,

∴ F(x₂)> F (x₁)；

綜上，F (x)在(－∞，5)為減函數(shù)，在(5，+∞)為增函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。

題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例7．(2001春季北京、安徽，12)設(shè)函數(shù)f(x)＝(a＞b＞0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。

.解：在定義域內(nèi)任取x₁＜x₂，

∴f(x₁)－f(x₂)＝

，

∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x₁－x₂＜0，

只有當(dāng)x₁＜x₂＜－b或－b＜x₁＜x₂時(shí)函數(shù)才單調(diào)．

當(dāng)x₁＜x₂＜－b或－b＜x₁＜x₂時(shí)f(x₁)－f(x₂)＞0．

∴f(x)在(－b，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，在(－∞，－b)上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識(shí)。對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例8．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。

解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，

分解基本函數(shù)為、

顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：

所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。

(2)解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，

分解基本函數(shù)為和。

顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；

而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。

解法二：，

，

　令 ，得或，

令 ，或

∴單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。

點(diǎn)評(píng)：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。

題型五：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用

例9．已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log₂(x²+5x+4)］≥0。

解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log₂(x²+5x+4)］≥f(2)。

又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，

∴f(x)在(－∞,0)上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0。

∴不等式可化為　log₂(x²+5x+4)≥2　　　 　　　①

或　　　　log₂(x²+5x+4)≤－2　　　　　　　　　　　　 ②

由①得x²+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0　　　　　　　　　　　　　 ③

由②得0＜x²+5x+4≤得

≤x＜－4或－1＜x≤　　　　　　　　　　 ④

由③④得原不等式的解集為

{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。

例10．已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)在［0，+∞］上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對(duì)所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由。

解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞］上是增函數(shù)，

∴f(x)是R上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)，

即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos²θ－mcosθ+2m－2>0。

設(shè)t=cosθ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)

g(t)?=t²－mt+2m－2=(t－)²－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正。

∴當(dāng)<0,即m<0時(shí)，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符；

當(dāng)0≤≤1時(shí)，即0≤m≤2時(shí)，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2，

∴4－2<m≤2　

當(dāng)>1,即m>2時(shí)，g(1)=m－1>0m>1。

∴m>2

綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2。

另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況)： cos²θ－mcosθ+2m－2>0對(duì)于θ∈［0,］恒成立，等價(jià)于m>(2－cos²θ)/(2－cosθ) 對(duì)于θ∈［0,］恒成立

∵當(dāng)θ∈［0,］時(shí)，(2－cos²θ)/(2－cosθ) ≤4－2，∴m>4－2。

點(diǎn)評(píng)：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。

題型六：最值問題

例11．(2002全國理，21)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x²+|x－a|+1，x∈R。

(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值。

解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù)。

當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a²+1，f(－a)=a²+2|a|+1，f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)。

此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。

(2)①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+。

若a≤，則函數(shù)f(x)在(－∞，a)上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f(x)在(－∞，a)上的最小值為f(a)=a²+1。

若a＞，則函數(shù)f(x)在(－∞，a上的最小值為f()=+a，且f()≤

f(a)。

②當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+。

若a≤－，則函數(shù)f(x)在［a，+∞上的最小值為f(－)=－a，且f(－)≤f(a)。

若a＞－，則函數(shù)f(x)在［a，+∞］上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f(x)在［a，+∞］上的最小值為f(a)=a²+1。

綜上，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是－a。

當(dāng)－＜a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a²+1。

當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題會(huì)有較大幫助.因?yàn)?i>x∈R，f(0)=|a|+1≠0，由此排除f(x)是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)是偶函數(shù)，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想。

例12．設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1}，f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+)。

(1)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M；

(2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(3)求證：對(duì)每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。

　(1)證明：先將f(x)變形：f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,

當(dāng)m∈M時(shí)，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，

故f(x)的定義域?yàn)镽。

反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x²－4mx+4m²+m+>0。

令Δ＜0，即16m²－4(4m²+m+)＜0，解得m>1，故m∈M。

(2)解析：設(shè)u=x²－4mx+4m²+m+，

∵y=log₃u是增函數(shù)，

∴當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小。

而u=(x－2m)²+m+，

顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+，

此時(shí)f(2m)=log₃(m+)為最小值。

(3)證明：當(dāng)m∈M時(shí)，m+=(m－1)+ +1≥3，

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立。

∴l(xiāng)og₃(m+)≥log₃3=1。

點(diǎn)評(píng)：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行處理。

題型七：周期問題

例13．若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱，則f(x)的一個(gè)周期為(　　 )

A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

解：因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>y=f(2x)關(guān)于對(duì)稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。

所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。

同理，f(b+2x) =f(b－2x)，

所以f(2b－2x)=f(2x)，

所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。

所以f(2x)的一個(gè)周期為2b－2a，

故知f(x)的一個(gè)周期為4(b－a)。選項(xiàng)為D。

點(diǎn)評(píng)：考察函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對(duì)稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱(a≠b)，則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2(b－a)。

例14．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。

①證明：；

②求的解析式；

③求在上的解析式。

解：∵是以為周期的周期函數(shù)，

∴，

又∵是奇函數(shù)，

∴，

∴。

②當(dāng)時(shí)，由題意可設(shè)，

由得，

∴，

∴。

③∵是奇函數(shù)，

∴，

又知在上是一次函數(shù)，

∴可設(shè)，而，

∴，∴當(dāng)時(shí)，，

從而當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，。

∴當(dāng)時(shí)，有，

∴。

當(dāng)時(shí)，，

∴

∴。

點(diǎn)評(píng)：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。

4．周期性

(1)定義：如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)= f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；

(2)性質(zhì)：①f(x+T)= f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)(ω≠0)是周期函數(shù)，且周期為。

3．最值

(1)定義：

最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?i>I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x₀∈I，使得f(x₀) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?i>I，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x₀∈I，使得f(x₀) = M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

注意：

1 函數(shù)最大(小)首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x₀∈I，使得f(x₀) = M；

2 函數(shù)最大(小)應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大(小)的，即對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)。

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：

1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值；

2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值；

3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

2．單調(diào)性

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮， 如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，當(dāng)x₁<x₂時(shí)，都有f(x₁)<f(x₂)(f(x₁)>f(x₂))，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù))；

注意：

1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

2 必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x₁，x₂；當(dāng)x₁<x₂時(shí)，總有f(x₁)<f(x₂)

(2)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(3)設(shè)復(fù)合函數(shù)y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

①若u=g(x) 在 A上是增(或減)函數(shù)，y= f(u)在B上也是增(或減)函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在A上是增函數(shù)；

②若u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù)，而y= f(u)在B上是減(或增)函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在A上是減函數(shù)。

(4)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

1 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

2 作差f(x₁)－f(x₂)；

3 變形(通常是因式分解和配方)；

4 定號(hào)(即判斷差f(x₁)－f(x₂)的正負(fù))；

5 下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)。

(5)簡(jiǎn)單性質(zhì)

①奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

②偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

　　 ③在公共定義域內(nèi)：

增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；

減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；

增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；

減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。

1．奇偶性

(1)定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。

如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。

注意：

1 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

2 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)。

(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

2 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；

3 作出相應(yīng)結(jié)論：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)。

(3)簡(jiǎn)單性質(zhì)：

①圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

從近幾年來看，函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)習(xí)中，針對(duì)不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復(fù)習(xí)線索。

預(yù)測(cè)2007年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。

預(yù)測(cè)明年的對(duì)本講的考察是：

(1)考察函數(shù)性質(zhì)的選擇題1個(gè)或1個(gè)填空題，還可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)出研究函數(shù)性質(zhì)的大題；

(2)以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質(zhì)，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質(zhì)預(yù)計(jì)成為新的熱點(diǎn)。