1.了解作者夏洛蒂•勃朗特。

4.簡•愛

學習目標

4．制作一個容積為的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和

高各取多少時，用料最��？(不計加工時的損耗及接縫用料)

3．若，求證：的最小值為3

2．1°時求的最小值，的最小值

2°設，求的最大值(5)

3°若, 求的最大值

4°若且，求的最小值

1．求下列函數(shù)的最值：

1° 　　(min=6)

2°　 　()

例1 求函數(shù)的最大值，下列解法是否正確？為什么？

解一： ，∴

解二：當即時，

答：以上兩種解法均有錯誤

解一錯在取不到“=”，即不存在使得；

解二錯在不是定值(常數(shù))

正確的解法是：

當且僅當即時

例2 若，求的最值

解：

∵　　 ∴　　

從而　

即

例3設且，求的最大值

解：∵　　 ∴

又，∴

即　

例4 已知且，求的最小值

解：

當且僅當即時

例5 將一塊邊長為的正方形鐵皮，剪去四個角(四個全等的正方形)，作成一個無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？

解：設剪去的小正方形的邊長為則其容積為

當且僅當即時取“=”

即當剪去的小正方形的邊長為時，鐵盒的容積為

例6　 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小

解一：

∵0 < 1 - x² < 1,　 　　∴

∴

解二：

∵0 < 1 - x² < 1,　 1 + x > 1,　 ∴

∴　 ∴

解三：∵0< x <1，∴0 < 1 - x < 1, 1< 1 + x < 2, ∴

∴左 - 右 =

∵0< 1 - x² <1, 且0< a <1 ∴ ∴

例7 已知x² = a² + b²，y² = c² + d²，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd

證一：(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù)

∴要證：xy≥ac + bd

只需證：(xy)²≥(ac + bd)²

即 (a² + b²)(c² + d²)≥a²c² + b²d² + 2abcd

展開得：a²c² + b²d² + a²d² + b²c²≥a²c² + b²d² + 2abcd

即 a²d² + b²c²≥2abcd　 　　

由基本不等式，顯然成立,∴xy≥ac + bd

證二：(綜合法)xy =

　≥

證三：(三角代換法)∵x² = a² + b²，∴不妨設a = xsina,　 b = xcosa

∵y² = c² + d²∴不妨設 c = ysinb,　 d = ycosb

　 ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy

例8 已知x₁, x₂均為正數(shù)，求證：

證一：(分析法)由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證：

即

再平方

化簡整理得 　(顯然成立) ∴原式成立

證二：(反證法)假設

化簡可得 　(不可能)∴原式成立

證三：(構造法)構造矩形ABCD，使AB = CD = 1, BP = x₁, PC = x₂

當ÐAPB = ÐDPC時，AP + PD為最短取BC中點M，有ÐAMB = ÐDMC, BM = MC =,∴ AP + PD ≥ AM + MD

即

∴

2．簡述不等式證明的幾種常用方法:比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構造

1．基本不等式、極值定理；

3.對其他知識點的復習　

　(1)可數(shù)名詞的復數(shù)和名詞的所有格�！�

　(2)人稱代詞、物主代詞、反身代詞、指示代詞、不定代詞、疑問代詞、連接代詞、關系代詞和相互代詞�！�

　(3)定冠詞和不定冠詞。　

　(4)數(shù)詞。　

　(5)形容詞和副詞的比較級、最高級�！�

　(6)介詞�！�(7)直接引語與間接引語。