例1 已知，求

解：因為，

所以

例2　求下列極限：(1)；(2)

解：(1)；

(2)

例3求下列極限：

　(1). (2). (3). (4).

解：(1).

(2) (方法一).

(方法二)∵n→∞，∴n≠0.分子、分母同除n的最高次冪.

.

第二個題目不能體現(xiàn)“分子、分母同除n的最高次冪”這個方法的優(yōu)勢.這道題目就可以.使用上述方法就簡單多了.因為分母上是3n²+2，有常數(shù)項，所以 (2)的方法一就不能用了.

(3).

規(guī)律一：一般地，當(dāng)分子與分母是關(guān)于n的次數(shù)相同的多項式時，這個公式在n→∞時的極限是分子與分母中最高次項的系數(shù)之比.

解：(4)分子、分母同除n的最高次冪即n⁴，得.

.

規(guī)律二：一般地，當(dāng)分子、分母都是關(guān)于n的多項式時，且分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時，當(dāng)n→∞時，這個分式極限為0.

例4求下列極限.

(1). (2). (3).

解：(1).

　(2).

　(3).

說明：當(dāng)無限增大時，分式的分子、分母都無限增大，分子、分母都沒有極限，上面的極限運算法則不能直接運用兩個(或幾個)函數(shù)(或數(shù)列)的極限至少有一個不存在，但它們的和、差、積、商的極限不一定不存在

2.推廣：上面法則可以推廣到有限多個數(shù)列的情況如，若，，有極限，則

1. 數(shù)列極限的運算法則:

與函數(shù)極限的運算法則類似, 如果那么

7. 對于函數(shù)極限有如下的運算法則：

如果，那么,

,　 　

當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時:,

這些法則對于的情況仍然適用

6.

5. 趨向于定值的函數(shù)極限概念：當(dāng)自變量無限趨近于()時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當(dāng)趨向時，函數(shù)的極限是，記作特別地，；

4.常數(shù)函數(shù)f(x)=c.(x∈R)，有f(x)=c.

f(x)存在，表示f(x)和f(x)都存在，且兩者相等.所以f(x)中的∞既有+∞，又有－∞的意義，而數(shù)列極限a_n中的∞僅有+∞的意義

3.函數(shù)極限的定義:

(1)當(dāng)自變量x取正值并且無限增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)a，就說當(dāng)x趨向于正無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a.

記作：f(x)=a，或者當(dāng)x→+∞時，f(x)→a.

(2)當(dāng)自變量x取負值并且絕對值無限增大時，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)a，就說當(dāng)x趨向于負無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a.

記作f(x)=a或者當(dāng)x→－∞時，f(x)→a.

(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就說當(dāng)x趨向于無窮大時，函數(shù)f(x)的極限是a，記作：f(x)=a或者當(dāng)x→∞時，f(x)→a.

2.幾個重要極限：

　 (1)　　　　　 (2)(C是常數(shù))

　 (3)無窮等比數(shù)列()的極限是0，即 　　

1.數(shù)列極限的定義：

　 一般地，如果當(dāng)項數(shù)無限增大時，無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)，那么就說數(shù)列以為極限.記作．