15.

一條光線經(jīng)過(guò)P(2,3)點(diǎn)，射在直線l：x+y+1＝0上，反射后穿過(guò)Q(1,1)．

(1)求光線的入射方程；

(2)求這條光線從P到Q的長(zhǎng)度．

解：(1)設(shè)點(diǎn)Q ′(x′，y′)為Q關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)且QQ′交l于M點(diǎn)，∵k_l＝－1，∴k_QQ′＝1.

∴QQ′所在直線方程為y－1＝1·(x－1)即x－y＝0.

由

解得l與QQ′的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-，-)．

又∵M為QQ′的中點(diǎn)，

14．已知A(0,3)、B(－1,0)、C(3,0)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形ABCD為直角梯形(A、B、C、D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?．

解：

設(shè)所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，如右圖所示，由于k_AB=3，k_BC=0，

∴k_AB·k_BC=0≠-1，

即AB與BC不垂直，故AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊．

(1)若CD是直角梯形的直角邊，則BC⊥CD，AD⊥CD，

∵k_BC=0，∴CD的斜率不存在，從而有x=3，

又k_AD=k_BC，∴=0，即y=3.

此時(shí)AB與CD不平行．

故所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,3)．

(2)若AD是直角梯形的直角邊，

則AD⊥AB，AD⊥CD，k_AD=，k_CD=.

由于AD⊥AB，∴·3=-1.

又AB∥CD，∴=3.

解上述兩式可得，此時(shí)AD與BC不平行．

故所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)，

綜上可知，使ABCD為直角梯形的點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為

(3,3)或(，)．

13．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，且被兩平行直線3x+y－6＝0和3x+y+3＝0所截得的線段長(zhǎng)為9，求直線l的方程．

解：設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與兩平行直線分別交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|＝9.

作AC垂直于兩平行直線于A、C兩點(diǎn)，

則|AC|＝＝，

|BC|＝＝＝.

設(shè)AB與兩平行直線的夾角為θ，則tanθ＝＝.

設(shè)直線l的斜率為k，

由||＝，得k＝－，

所求直線的方程為4x+3y－4＝0.

當(dāng)斜率k不存在時(shí)，x＝1也滿(mǎn)足題設(shè)條件．

故直線l的方程是4x+3y－4＝0或x＝1.

12．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,1)，且點(diǎn)A(－1，－2)到l的距離等于1，求直線l的方程．

解：(1)若l的斜率不存在，則l的方程為x＝－2，

此時(shí)點(diǎn)A到l的距離為1，符合題意．

(2)若l的斜率存在，設(shè)l的方程：y＝k(x+2)+1，

即kx－y+2k+1＝0.

則點(diǎn)A到直線l的距離d＝＝1，

即|k+3|＝，解得k＝－，

故l的方程為y＝－(x+2)+1，即4x+3y+5＝0.

綜上所述，直線l的方程為x＝－2或4x+3y+5＝0.

11．已知直線l₁：2x－y+4＝0與直線l₂平行，且l₂與拋物線y＝x²相切，則直線l₁、l₂間的距離等于________．

答案：

解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是(x₀，x)，則有2x₀＝2，x₀＝1，即切點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1)，直線l₂的方程是y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故直線l₁、l₂間的距離等于＝.

10．直線2x+3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M(1，－1)對(duì)稱(chēng)的直線方程是________．

答案：2x+3y+8＝0

解析：依題意，所求直線與直線2x+3y－6＝0平行，且點(diǎn)M(1，－1)到兩直線的距離相等，故可設(shè)其方程為2x+3y+m＝0，則＝，解得m＝8，故所求直線方程為2x+3y+8＝0.

9．設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1,1)，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)與直線l的距離最遠(yuǎn)時(shí)，直線l的方程為_(kāi)_______．

答案：3x－2y+5＝0

解析：設(shè)B(2，－1)到直線l的距離為d，

則d≤|AB|，當(dāng)d＝|AB|時(shí)取得最大值，

此時(shí)直線l垂直于直線AB，k₁＝－＝，

∴直線l的方程為y－1＝(x+1)，即3x－2y+5＝0.

8．設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3，－1)，∠B，∠C的平分線方程分別為x＝0，y＝x，則直線BC的方程是(　)

A．y＝2x+5　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．y＝2x+3

C．y＝3x+5　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．y＝－x+

答案：A

解析：點(diǎn)A(3，－1)關(guān)于直線x＝0，y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(－3，－1)，A″(－1,3)在直線BC上．故得直線BC的方程為y＝2x+5.故選A.

7．曲線f(x，y)＝0關(guān)于直線x－y－2＝0對(duì)稱(chēng)的曲線方程是(　)

A．f(y+2，x)＝0　 B．f(x－2，y)＝0

C．f(y+2，x－2)＝0　 D．f(y－2，x+2)＝0

答案：C

解析：設(shè)M(x，y)為所求曲線上任一點(diǎn)，則它關(guān)于直線x－y－2＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N(x₀，y₀)在已知曲線f(x，y)＝0上，即f(x₀，y₀)＝0.

又，∴f(y+2，x－2)＝0.故選C.

6．已知三條直線l₁：y＝x－1，l₂：y＝1，l₃：x+y+1＝0，l₁與l₂的夾角為α，l₂與l₃的夾角為β，則α+β的值為(　)

A．75°　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．105°

C．165°　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．195°

答案：B

解析：∵tanα＝，tanβ＝1，

∴tan(α+β)＝＝＝－(2+)．

又∵α，β∈(0°，90°)，即α+β∈(0°，180°)，

∴α+β＝105°.故選B.