題目列表(包括答案和解析)
定義在(-∞,+∞)上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(-∞,+∞),那么( )
A. g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)
B. g(x)=[lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x]
C. g(x)=,h(x)=lg(10x+1)-
D. g(x)=-,h(x)=lg(10x+1)+
定義在R上的任意函數(shù)f (x)都可以表示成一個奇函數(shù)g (x)和一個偶函數(shù)h (x)之和,如果f (x)=lg(10x+1),x∈R.那么
A.g (x)=x,h (x)=lg(10x+10-x+1)
B.g (x)=,h (x)=
C.g (x)=,h (x)=lg(10x+1)-
D.g (x)=-,h (x)=
定義在R上的任意函數(shù)f (x)都可以表示成一個奇函數(shù)g (x)和一個偶函數(shù)h (x)之和,如果f (x)=lg(10x+1),x∈R.那么
A.g (x)=x,h (x)=lg(10x+10-x+1) |
B.g (x)=,h (x)= |
C.g (x)=,h (x)=lg(10x+1)- |
D.g (x)=-,h (x)= |
A.g (x)=x,h (x)=lg(10x+10-x+1) |
B.g (x)=,h (x)= |
C.g (x)=,h (x)=lg(10x+1)- |
D.g (x)=-,h (x)= |
定義在
(-¥,+¥)上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個偶函數(shù)g(x)和一個奇函數(shù)h(x)的和,如果,xÎ(-¥,+¥),求g(x)和h(x).難點磁場
解:(1)由>0,且2-x≠0得F(x)的定義域為(-1,1),設(shè)-1<x1<x2<1,則
∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1.
因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函數(shù).
∴f-1(x)=,∵f(x)的值域為R,∴f--1(x)的定義域為R.
用數(shù)學(xué)歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略.
(3)證明:∵F(0)=,∴F-1()=0,∴x=是F-1(x)=0的一個根.假設(shè)F-1(x)=0還有一個解x0(x0≠),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠).這是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解.
殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析:由題意:g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①
又g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1) ②
答案:C
2.解析:當a>1時,函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選,又a>1時,y=(1-a)x為減函數(shù).
答案:B
4.解析:由題意,5分鐘后,y1=ae-nt,y2=a-ae-nt,y1=y2.∴n=ln2.設(shè)再過t分鐘桶1中的水只有,則y1=ae-n(5+t)=,解得t=10.
答案:10
三、5.解:(1)設(shè)點Q的坐標為(x′,y′),則x′=x-2a,y′=-y.即x=x′+2a,y=-y′.
∵點P(x,y)在函數(shù)y=loga(x-3a)的圖象上,∴-y′=loga(x′+2a-3a),即y′=loga,∴g(x)=loga.
(2)由題意得x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0<a<1,∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga|=|loga(x2-4ax+3a2)|?|f(x)-g(x)|≤1,∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1,∵0<a<1,∴a+2>2a.f(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上為減函數(shù),∴μ(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上為減函數(shù),從而[μ(x)]max=μ(a+2)=loga(4-4a),[μ(x)]min=μ(a+3)=loga(9-6a),于是所求問題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解.
由loga(9-6a)≥-1解得0<a≤,由loga(4-4a)≤1解得0<a≤,
6.解:f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(當且僅當x1=x2時取“=”號),
∴logax1x2≤loga(),(logax1+logax2)≤loga,
即f(x1)+f(x2)]≤f()(當且僅當x1=x2時取“=”號)
當0<a<1時,有l(wèi)ogax1x2≥loga()2,
∴(logax1+logax2)≥loga,即[f(x1)+f(x2)]≥f()(當且僅當x1=x2時取“=”號).
7.解:由已知等式得:loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐標系uOv內(nèi),圓弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)與平行直線系v=-u+k有公共點,分兩類討論.
(1)當u≥0,v≥0時,即a>1時,結(jié)合判別式法與代點法得1+≤k≤2(1+);
(2)當u≤0,v≤0,即0<a<1時,同理得到2(1-)≤k≤1-.x綜上,當a>1時,logaxy的最大值為2+2,最小值為1+;當0<a<1時,logaxy的最大值為1-,最小值為2-2.
又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1.
∴當log2x=2,即x=4時ymin=-1;當log2x=3,即x=8時,ymax=0.
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