設(shè)則由得為的中點(diǎn).所以點(diǎn)坐標(biāo)為 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問中,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第二問中,

假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得……②  ……………………9分

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

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等軸雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn),;則的實(shí)軸長為(      )

                                        

【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為,拋物線的準(zhǔn)線為,由,則,把坐標(biāo)代入雙曲線方程得,所以雙曲線方程為,即,所以,所以實(shí)軸長,選C.

 

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如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長為的正方形,側(cè)棱

 (1)求三棱錐的體積;

。ǎ玻┣笾本與平面所成角的正弦值;

。ǎ常┤衾上存在一點(diǎn),使得,當(dāng)二面角的大小為時,求實(shí)數(shù)的值.

【解析】(1)在中,

.                 (3’)

(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

       (4’)

,設(shè)平面的法向量為,

,                                             (5’)

,

.  (7’)

(3)

設(shè)平面的法向量為,由,      (10’)

 

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在四棱錐中,平面,底面為矩形,.

(Ⅰ)當(dāng)時,求證:

(Ⅱ)若邊上有且只有一個點(diǎn),使得,求此時二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時,底面ABCD為正方形,

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

,得證。

第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q,使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解:(Ⅰ)當(dāng)時,底面ABCD為正方形,

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知時,存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時,BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q,使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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,為常數(shù),離心率為的雙曲線上的動點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和的最小值為,拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一頂點(diǎn)重合。(Ⅰ)求拋物線的方程;(Ⅱ)過直線為負(fù)常數(shù))上任意一點(diǎn)向拋物線引兩條切線,切點(diǎn)分別為、,坐標(biāo)原點(diǎn)恒在以為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】第一問中利用由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為,所以拋物線的方程

第二問中,,,,

故直線的方程為,即,

所以,同理可得:

借助于根與系數(shù)的關(guān)系得到即,是方程的兩個不同的根,所以

由已知易得,即

解:(Ⅰ)由已知易得雙曲線焦距為,離心率為,則長軸長為2,故雙曲線的上頂點(diǎn)為,所以拋物線的方程

(Ⅱ)設(shè),,

故直線的方程為,即,

所以,同理可得:,

,是方程的兩個不同的根,所以

由已知易得,即

 

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