在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:;
(Ⅱ)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn),使得,求此時(shí)二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí),底面ABCD為正方形,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分
又,得證。
第二問,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得
由此知道a=2, 設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),底面ABCD為正方形,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分
(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系,如圖所示,
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設(shè)BQ=m,則Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知時(shí),存在點(diǎn)Q使得
當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m,即m=a/2時(shí),BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得由此知道a=2,
設(shè)平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
在四棱錐中,平面,底面為矩形,.
(I)當(dāng)時(shí),求證:;
(II)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn),使得,求此時(shí)二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年普通高中招生考試北京市高考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題共14分)
如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,.
(Ⅰ)求證:平面
(Ⅱ)若求與所成角的余弦值;
(Ⅲ)當(dāng)平面與平面垂直時(shí),求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年甘肅省蘭州市高三第一次(3月)診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,,.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011云南省高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
本小題滿分12分)如圖所示,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,,。
(1)求證:平面平面;
(2)若,求二面角的大小。
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