題目列表(包括答案和解析)
已知正數(shù)數(shù)列{an }中,a1 =2.若關(guān)于x的方程 ()對任意自然數(shù)n都有相等的實根.
(1)求a2 ,a3的值;
(2)求證
【解析】(1)中由題意得△,即,進而可得,.
(2)中由于,所以,因為,所以數(shù)列是以為首項,公比為2的等比數(shù)列,知數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列,利用裂項求和得到不等式的證明。
(1)由題意得△,即,進而可得
(2)由于,所以,因為,所以數(shù)列是以為首項,公比為2的等比數(shù)列,知數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列,于是
,
所以
如圖,三棱柱中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點。
(I) 證明:平面⊥平面
(Ⅱ)平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡單題.
【解析】(Ⅰ)由題設(shè)知BC⊥,BC⊥AC,,∴面, 又∵面,∴,
由題設(shè)知,∴=,即,
又∵, ∴⊥面, ∵面,
∴面⊥面;
(Ⅱ)設(shè)棱錐的體積為,=1,由題意得,==,
由三棱柱的體積=1,
∴=1:1, ∴平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1
已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過點(2,0)的直線與橢圓相交于兩點,設(shè)為橢圓上一點,且滿足(O為坐標原點),當< 時,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。
第一問中,利用
第二問中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的<不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax+,函數(shù)f(x)的圖像與x軸的交點也在函數(shù)g(x)的圖像上,且在此點處f(x)與g(x)有公切線.[來源:學(xué)?。網(wǎng)]
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)設(shè)x>0,試比較f(x)與g(x)的大小.[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]
【解析】第一問解:因為f(x)=lnx,g(x)=ax+
則其導(dǎo)數(shù)為
由題意得,
第二問,由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的減函數(shù),而F(1)=0, …………9分
∴當時,,有;當時,,有;當x=1時,,有
解:因為f(x)=lnx,g(x)=ax+
則其導(dǎo)數(shù)為
由題意得,
(11)由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的減函數(shù),而F(1)=0, …………9分
∴當時,,有;當時,,有;當x=1時,,有
在復(fù)平面內(nèi), 是原點,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是,=2+i。
(Ⅰ)如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B,求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)和;
(Ⅱ)復(fù)數(shù),對應(yīng)的點C,D。試判斷A、B、C、D四點是否在同一個圓上?并證明你的結(jié)論。
【解析】第一問中利用復(fù)數(shù)的概念可知得到由題意得,A(2,1) ∴B(2,-1) ∴ =(0,-2) ∴=-2i ∵ (2+i)(-2i)=2-4i, ∴ =
第二問中,由題意得,=(2,1) ∴
同理,所以A、B、C、D四點到原點O的距離相等,
∴A、B、C、D四點在以O(shè)為圓心,為半徑的圓上
(Ⅰ)由題意得,A(2,1) ∴B(2,-1) ∴ =(0,-2) ∴=-2i 3分
∵ (2+i)(-2i)=2-4i, ∴ = 2分
(Ⅱ)A、B、C、D四點在同一個圓上。 2分
證明:由題意得,=(2,1) ∴
同理,所以A、B、C、D四點到原點O的距離相等,
∴A、B、C、D四點在以O(shè)為圓心,為半徑的圓上
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