已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中,設出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點坐標得到,又因為,這樣可知得到。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到

,再利用可以結(jié)合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。

解:(Ⅰ)設橢圓E的方程為

①………………………………1分

  ②………………2分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以橢圓E的方程為…………………………4分

(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設直線l的方程為y=-x+m,……………5分

 代入橢圓E方程,得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    當m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,

圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分

同理,當m=-3時,直線l方程為y=-x-3,

圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4

 

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)當m=-3時,直線l方程為y=-x-3,圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4

 

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(本小題滿分14分) 已知在平面直角坐標系xoy中的一個橢圓,它的中心在原

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(1)求該橢圓的標準方程;

(2)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;

(3)過原點O的直線交橢圓于點B、C,求△ABC面積的最大值。

 

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