（1）求函數的改變量

（2）求平均變化率

（3）當△x→0時，→＝

   但是每次這樣求，是否很麻煩，我們學習了一些函數，能否將我們學過的函數的導數整個求出而直接應用呢？本節(jié)主要解決這一問題。――常見函數的導數。

二、新課內容：

   1、求f(x)=kx+b(k,b為常數)的導數

   解：=k(x+△x)+b-kx-b=k△x, =k,當△x→0時，→k=f^/(x),這樣我們得到

(kx+b)^/=k

思考1：當k=0時，f(x)是什么函數？其導數是多少？由之得到什么結論？（常數函數b，常數函數的導數是0）

思考2：k=1,b=0時，f(x)是什么函數？其導數是多少？由之得到什么結論？（f(x)=x,1,x^/=1）

2、學生活動：（x²）^/ ,（x³）^/, （x^-1）^/,(x^-2)^/，（）^/

這些函數都是什么函數？由之能得到什么結論？

（都是冪函數，  （為常數）

3、已知當x→0時，→0，由之求(cosx)^/

解：△y=cos(x+△x)-cosx=cosxcos△x-sinxsin△x-cosx=cosx(cos△x-1)-sinxsin△x=-2cosxsin²-sinxsin△x, =-2cosx-sinx=-2cosx-sinx→-sinx,故(cosx)^/=-sinx

以前作業(yè)中有：(sinx)^/=cosx

4、學生活動：已知當x→∞時，→e,求(lnx)^/

（==== =→），

這樣：(log_ax)^/=== log_ae

我們還可以求出：(a^x)^/=a^xlna

這樣我們得到一系列初等函數的導數公式：(c)'＝0(c為常數)，      (xⁿ)'＝nx^n-1，

(sinx)'＝cosx，  (cosx)'=－sinx．（a^x）^/=a^xlna,(lnx)^/=

例1、求下列函數導數。(1)  (2)y=cos(2π－x)　   （3）y=

解、(1)y=,y^/=;   (2)y=cosx,y^/=-sinx;    (3)y^/=0

練習：已知點P在函數y=cosx上，（0≤x≤2π），在P處的切線斜率大于0，求點P的橫坐標的取值范圍。（π<x<2π）

例2：若直線為函數圖象的切線,求b的值和切點坐標.

解：()^/=-x^-2=-1,x=±1   ∴切點為(1,1)或(-1,-1)    切點為(1,1)時，b=2；切點為(-1,-1)時b=-2

練習：求曲線y=x³過點(1,1)的切線方程（3x-y-2=0）

變式練習：點(0,-1) 求曲線y=x³過的切線方程（x+2y++=0）

[補充習題]

1、寫出下列曲線的切線方程(1)曲線y=sinx在點A(,1)處________(2)曲線y=在點P(8,4)處________________

2、設f₀(x)=sinx,f₁(x)=f₀^/(x),f₂(x)=f₁^/(x),……,f_n+1(x)=f_n^/(x),則f₂₀₀₈(x)=__________________

3、直線l₁與曲線y=相切于點P,直線l₂過點P且垂直于l₁,且l₂交x軸于點Q,PK⊥x軸于K,求KQ的長

4、已知f(x)=cosx,g(x)=x,求適合f^/(x)+g^/(x)≤0的x的解集

[答案]1、(1)y=1;    (2)x-3y+4=0;   2、sinx;   3、1/2；   4、{x|x=2kπ+，k∈Z}

教后反思：

1.2.2 函數的和、差、積、商的導數（1）和差與實數與函數積的運算

[教學目標]

[教學難點、重點] 和差及實數與函數積的導數公式

[教學過程]

(用定義：(1)y^/=2x+1=(x²)^/+x^/   (2)y^/=2(2x+1)=2(x²+x)^/)

這里，一般的[f(x)+g(x)]^/與f^/(x)、g^/(x),[Cf(x)]^/關系是否還是這樣？

二、建構數學：

猜想：[f(x)+g(x)]^/=f^/(x)+g^/(x),

驗證1：

=+，當△x→0時，有[f(x)+g(x)]^/=f^/(x)+g^/(x)

學生活動：仿此驗證2

思考：[f(x)-g(x)]^/=?( [f(x)-g(x)]^/=[f(x)+(-1)g(x)]^/=f^/(x)+(-1)g^/(x)=f^/(x)-g^/(x))

法則1  兩個函數的和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)，即  

法則2常數與函數的積的導數，等于常數與函數的積的導數．

例1  求下列函數的導數:(1)y=x²+sinx的導數.(2)g(x)=x³--6x+2

   解：(1)y^/=(x²)^/+(sinx)^/=2x+cosx

   (2)g^/(x)=(x³)^/-()^/-(6x)^/+2^/=3x²-3x-6

注意步驟

練習1：教材P22----1

練習2：教材P26---1(1)(2)(3),2(1)(2)

例2、求函數y=的導數

解：y^/=

注意前后x范圍的變化

練習：教材P26---5

例3、已知函數f(x)=x³+bx²+cx+d的圖象過點P(0,2)，且在點M處(-1，f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0，求函數的解析式

解：由已知f(0)=d=2,f^/(x)=3x²+2bx+c,f^/(1)=3-2b+c=62b-c=3,又6×(-1)-f(-1)+7=0f(-1)=1,b-c=0,從而b=-3,c=-3,f(x)=x³-3x²-3x+2

練習：教材P22---2

[補充習題]

1、設曲線y=在點P的切線的方向向量為，向量滿足=0，過點P且與為方向的方向向量的直線交x軸于點B,點P在x軸上的射影為A,求的坐標

2、若兩條曲線y=x³+ax及y=x²+bx+c都過點P(1,2)，且在這點有公切線，求a,b,c的值

3、設函數f(x)=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸的交點為P,且曲線在P點處的切線為24x+y-12=0,又函數的圖象在點Q(2,-16)處的切線與x軸平行，求f(x)解析式

[答案]

1、=(,0)

2、a=1,b=2,c=-1

3、f(x)=x³+3x²-24x+12

[教后感想與作業(yè)情況]

1.2.2 函數的和、差、積、商的導數（1）積商導數的運算

[教學目標]

[教學難點、重點] 積與商導數公式

[教學過程]

一、復習：1、導數的和、差與實數與函數積的導數公式

2、實數的四則運算中，有了加減，還有乘除，[f(x)g(x)]^/=?,[]^/=?

 引入主題：積與商的導數運算法則

   令，則

--+-，+于是當時，，從而+→ ，

于是有：

法則3兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數，即

思考：已知f(x)的導數為f^/(x),則[f²(x)]^/是多少？[fⁿ(x)]^/呢？

例1、求函數和f(x)=sinx+xcosx的導數

解：h^/(x)=(xsinx)^/=x^/sinx+x(sinx)^/=sinx-xcosx

f^/(x)=(sinx+xcosx)^/=(sinx)^/+(xcosx)^/=-cosx+cosx-xsinx=xsinx

思考：[]^/是否等于？以為例說明不成立。那么又是多少呢？仿乘法推導可以得到：

法則4  兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方，即

例2、求的導數

解：[方法一]s^/(t)= ===

[方法二]s(t)=t+t^-1,s^/(t)=t^/+(t^-1)^/=1-t^-2=

練習1：求的導數

練習2：求(tanx)^/

練習3：教材P22---4(2)(3)

[補充習題]

1、填空：(1) （）^/=________________ (2)()^/=_____________

(3)()^/ =____________(4) ()^/|_x=3=___________(5)(xlnx-2^x+)^/=_________

   2、是三次函數,且，求其解析式

   3、一般的f^/(x)叫做f(x)的一階導數，f^/(x)的導數(f^/(x))^/叫做f(x)的二階導數，記作f^//(x)或y^//,若f(x)為二次函數，且f(1)=1,f^/(2)=2,f^//(3)=3,求f(x)的解析式

   4、曲線C₁:y=x²與C₂:y=-(x-2)²,直線l與C₁,C₂都相切，求直線l的方程

[答案]1、(1);(2)-;(3)-;(4)-;(5)lnx+1-2^xln2+

2、f(x)=x³-3x²+3

3、f(x)=x³+

4、設直線l與C₁切于(a,a²),與C₂切于(b,-(b-2)²),則l:y=2ax-a²,也是y=(4-2b)x+b²-4,二者重合，解得或，l:y=0或4x-y-4=0

[教后感想與作業(yè)情況]

1．2．3簡單復合函數的導數

[教學目標]

[教學重點、難點]用定義推導簡單復合函數的求導法則，型

[教學過程]

已知f(x)=(3x-1)²,求f^/(x)

[方法一]f(x)=9x²-6x+1,f^/(x)=18x-6=6(3x-1)

[方法二]f(x)=(3x-1)(3x-1),f^/(x)=(3x-1)^/(3x-1)2=6(3x-1)

思考：原函數實質是y=u²與u=3x-1的復合函數，y_u^/=2u=2(3x-1),u_x^/=3,它們與f^/(x)有什么關系？（f^/(x)=y_u^/u_x^/）

一般的，這一結論還是否成立？

二、新課內容：

   一般的，對于由y=f(u)及u=g(x)組合成的復合函數y=f[g(x)]的導數是否還有此乘機規(guī)律呢？我們來驗證一下：

 =當△x→0時，△u→0,這樣有y_x^/=y_u^/.u_x^/，于是有：

定理：一般的，對于由y=f(u)及u=g(x)組合成的復合函數y=f[g(x)] ，有y_x^/=y_u^/.u_x^/；特別的，當u=ax+b時，有f^/(ax+b)=f^./(u).a

例1、求下列函數的導數:(1)y=(2x-3)⁵     (2)y=ln(5x+1)

解：(1)原函數為y=u⁵及u=2x-3的復合函數，y_x^/=y_u^/.u_x^/=5u⁴.2=10(2x-3)⁴

（2）原函數為y=lnu及u=5x+1的復合函數，y_x^/=y_u^/.u_x^/=.5=

練習1：教材P25---1,2

練習2：如何推導(a^x)^/=?(設a^x=y,lna^x=lny,xlna=lny,兩邊對x求導數，有l(wèi)na=.y^/,y^/=ylna=a^xlna)

例2、已知函數y=-(2a-1)x在(0,1)上恒有y^/>0,求a的范圍

解：y^/=-(2a-1)=2^2x+1-(2a-1)>0恒成立，即2a-1<2^2x+1,0<x<1,0<2x+1<3,2<2^2x+1<8,∴2a-1≤2,a≤

思考：如果改為[0,1]，結果又如何？

例3、求函數y=log₂x的導數

解：y^/=^/.log₂x+(log₂x)^/=.2. log₂x+  =+

[補充習題]

1、f(1-x)=x²-2x+3,則f^/(x)=_________________

2、(1)(sinnx.cosnx)^/=__________________;(2)=___________(3)(2^-2x+1)^/=_____________

(4)[(ax+b)ⁿ]^/=__________________;  (5)[sin(2x+)]^/=_______________

3、求y=在x=1處的切線方程

[答案]1、2x；    2、(1)cos2nx;(2); (3) 2^-2x+2ln2;   (4)na(ax+b)^n-1;   (5)2cos(2x+)

3、x-y=0