Question

【題目】如圖所示,質(zhì)量m=50 kg的運(yùn)動(dòng)員(可視為質(zhì)點(diǎn))在河岸上A點(diǎn)緊握一根長L=5.0 m的不可伸長的輕繩,輕繩另一端系在距離水面高H=10.0 m的O點(diǎn),此時(shí)輕繩與豎直方向的夾角為θ=37°,C點(diǎn)是位于O點(diǎn)正下方水面上的一點(diǎn),距離C點(diǎn)x=4.8 m處的D點(diǎn)有一只救生圈,O、A、C、D各點(diǎn)均在同一豎直面內(nèi)。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2)

（1）若運(yùn)動(dòng)員抓緊繩端點(diǎn),從臺(tái)階上A點(diǎn)沿垂直于輕繩斜向下以一定初速度v0躍出,當(dāng)擺到O點(diǎn)正下方的B點(diǎn)時(shí)松開手,最終恰能落在救生圈內(nèi)。運(yùn)動(dòng)員從臺(tái)階上A點(diǎn)躍出時(shí)的動(dòng)能Ek;

（2）若初速度v0不一定,且使運(yùn)動(dòng)員最終仍能落在救生圈內(nèi),則救生圈離C點(diǎn)距離x將隨運(yùn)動(dòng)員離開A點(diǎn)時(shí)初速度v0的變化而變化，試求v0-x的關(guān)系式。

（3）若繩子能承受的最大拉力為人重力的5倍，求運(yùn)動(dòng)員在水面落點(diǎn)和臺(tái)階上A點(diǎn)水平距離的范圍。

Answer 1

【答案】（1）76J（2）x2-v02=20（3）(2m，10m)

【解析】(1)運(yùn)動(dòng)員從B點(diǎn)到D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)

H-L=gt2 x=vBt

解得vB=4.8 m/s

運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中,由機(jī)械能守恒定律得：mg L(1-cosθ)= mvB2-Ek

解得Ek=76 J

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)員經(jīng)O點(diǎn)正下方時(shí)的速度為vB′,B,C間高度差為h,則

mg(H-Lcos 37°-h)= mvB′2-mv02

x=vB′

代入數(shù)據(jù)得x2-v02=20

(3) (F=5mg) xmax=10m

另外，從A點(diǎn)躍出時(shí)的速度為零，xmin=vB=2m

所以范圍為：（2m，10m）